أساسيات التفاضل والتكامل
أساسيات التفاضل والتكامل
التفاضل والتكامل من أهم فروع الرياضيات في اختبار التحصيلي. التفاضل يدرس معدل التغير، والتكامل يدرس المساحة تحت المنحنى.
النهايات (Limits)
النهايات هي أساس التفاضل والتكامل. النهاية تصف سلوك الدالة عندما يقترب المتغير من قيمة معينة.
قواعد أساسية:
• نها (س→أ) [ف(س)] = ف(أ) إذا كانت الدالة متصلة عند أ
• إذا أعطت التعويض المباشر 0/0 ← حلل البسط والمقام ثم بسّط
• نها (س→0) [sin(س)/س] = 1 (نهاية مشهورة جداً)
• نها (س→∞) [أ·سⁿ + ...] / [ب·سⁿ + ...] = أ/ب (نفس الدرجة)
• إذا كانت درجة البسط أكبر ← النهاية = ∞
• إذا كانت درجة المقام أكبر ← النهاية = 0
مثال محلول 1:
أوجد: نها (س→3) [(س² - 9) / (س - 3)]
الحل: التعويض المباشر يعطي 0/0. نحلل البسط: (س²-9) = (س-3)(س+3)
= نها (س→3) [(س-3)(س+3) / (س-3)] = نها (س→3) [س+3] = 3+3 = 6
مثال محلول 2:
أوجد: نها (س→∞) [(5س³ + 2س) / (2س³ - 1)]
الحل: البسط والمقام من نفس الدرجة (3). النهاية = معامل أعلى قوة في البسط ÷ معامل أعلى قوة في المقام = 5/2
1. التفاضل (الاشتقاق)
المشتقة تمثّل ميل المماس للمنحنى عند نقطة معينة، أي معدل التغير اللحظي.
قواعد الاشتقاق:
• إذا f(x) = xⁿ → f'(x) = n·xⁿ⁻¹
• إذا f(x) = c (ثابت) → f'(x) = 0
• إذا f(x) = sin x → f'(x) = cos x
• إذا f(x) = cos x → f'(x) = -sin x
• إذا f(x) = eˣ → f'(x) = eˣ
مثال 1:
f(x) = 3x⁴ - 2x² + 5x - 7
f'(x) = 12x³ - 4x + 5
مثال 2 (إيجاد ميل المماس):
أوجد ميل المماس لـ f(x) = x² عند x = 3
f'(x) = 2x → f'(3) = 6 → الميل = 6
2. التكامل
التكامل هو العملية العكسية للاشتقاق.
• ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (حيث n ≠ -1)
• ∫sin x dx = -cos x + C
• ∫cos x dx = sin x + C
• ∫eˣ dx = eˣ + C
مثال:
∫(4x³ + 6x) dx = x⁴ + 3x² + C
3. تطبيقات
• القيم القصوى: نجعل f'(x) = 0 ونحل
• المساحة تحت المنحنى: نحسب التكامل المحدد ∫ₐᵇ f(x)dx
• معدل التغير: المشتقة تعطي السرعة اللحظية
⚠ أخطاء شائعة:
- نسيان إضافة ثابت التكامل C
- خطأ في تطبيق قاعدة الأُس (نسيان طرح 1)
- نسيان الإشارة السالبة في مشتقة cos x
جدول قواعد الاشتقاق
| الدالة f(x) | المشتقة f'(x) | مثال |
|---|---|---|
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ | f(x) = x³ → f'(x) = 3x² |
| sin x | cos x | f(x) = sin x → f'(x) = cos x |
| cos x | −sin x | f(x) = cos x → f'(x) = −sin x |
| tan x | sec²x | f(x) = tan x → f'(x) = sec²x |
| eˣ | eˣ | f(x) = eˣ → f'(x) = eˣ |
| ln x | 1/x | f(x) = ln x → f'(x) = 1/x |
| aˣ | aˣ · ln a | f(x) = 2ˣ → f'(x) = 2ˣ ln 2 |
| ثابت c | 0 | f(x) = 5 → f'(x) = 0 |
| c·f(x) | c·f'(x) | f(x) = 3x² → f'(x) = 6x |
| f(x) ± g(x) | f'(x) ± g'(x) | (x² + sin x)' = 2x + cos x |
جدول قواعد التكامل
| الدالة | التكامل | ملاحظة |
|---|---|---|
| xⁿ (n≠−1) | xⁿ⁺¹/(n+1) + C | أضف 1 للأس واقسم عليه |
| 1/x | ln|x| + C | حالة خاصة عندما n = −1 |
| sin x | −cos x + C | لاحظ الإشارة السالبة |
| cos x | sin x + C | تكامل مباشر |
| sec²x | tan x + C | مشتقة tan x هي sec²x |
| eˣ | eˣ + C | الدالة الأسية لا تتغير |
| aˣ | aˣ/ln a + C | اقسم على ln الأساس |
| 1/(1+x²) | arctan x + C | تكامل مثلثي عكسي |
مثال محلول: قاعدة السلسلة
أوجد مشتقة f(x) = sin(3x² + 1)
الحل: نطبق قاعدة السلسلة:
f'(x) = cos(3x² + 1) × (3x² + 1)'
f'(x) = cos(3x² + 1) × 6x
f'(x) = 6x·cos(3x² + 1)
مثال محلول: التكامل المحدد
احسب ∫₀² (3x² + 2) dx
الحل: ∫(3x² + 2)dx = x³ + 2x + C
= [x³ + 2x]₀² = (8 + 4) − (0 + 0) = 12
مثال محلول: قاعدة الضرب
أوجد مشتقة f(x) = x²·sin x
الحل: (f·g)' = f'·g + f·g'
f'(x) = 2x·sin x + x²·cos x
ملخص قواعد الاشتقاق المركبة
| القاعدة | الصيغة | متى تُستخدم |
|---|---|---|
| قاعدة الضرب | (f·g)' = f'·g + f·g' | اشتقاق حاصل ضرب دالتين |
| قاعدة القسمة | (f/g)' = (f'·g − f·g')/g² | اشتقاق حاصل قسمة دالتين |
| قاعدة السلسلة | [f(g(x))]' = f'(g(x))·g'(x) | اشتقاق دالة مركبة |
⚠ أخطاء إضافية:
- نسيان تطبيق قاعدة السلسلة عند اشتقاق sin(2x) — الجواب 2cos(2x) وليس cos(2x)
- في التكامل المحدد: لا نضيف ثابت C
- الخلط بين d/dx [sin x] = cos x و d/dx [cos x] = −sin x (لاحظ السالب!)