الأعداد المركبة

الأعداد المركبة (Complex Numbers)

العدد المركب يتكون من جزء حقيقي وجزء تخيلي. يُكتب بالصورة z = a + bi حيث i هي الوحدة التخيلية و i² = -1.

1. الوحدة التخيلية i

i = √(-1)

i² = -1 | i³ = -i | i⁴ = 1 | i⁵ = i (تتكرر كل 4)

لإيجاد iⁿ: نقسم n على 4 ونستخدم الباقي

2. العمليات على الأعداد المركبة

الجمع: (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

الطرح: (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i

الضرب: (a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

القسمة: نضرب البسط والمقام في مرافق المقام

3. المرافق والمقياس

مرافق z = a+bi هو z̄ = a-bi

z × z̄ = a² + b² (عدد حقيقي دائماً)

|z| = √(a² + b²) (المقياس)

مثال 1:

(3+2i)(1-4i) = 3-12i+2i-8i² = 3-10i+8 = 11-10i

مثال 2 (القسمة):

(2+3i)/(1+i) = (2+3i)(1-i)/((1+i)(1-i)) = (5+i)/2 = 5/2 + 1/2 i

4. مستوى أرجاند

نمثل العدد المركب a+bi كنقطة (a,b) في المستوى. المحور الأفقي للجزء الحقيقي والرأسي للتخيلي.

5. الصورة القطبية

z = r(cos θ + i sin θ) حيث r = |z| و θ = arg(z)

θ = arctan(b/a) مع مراعاة الربع

الضرب في الصورة القطبية: z₁z₂ = r₁r₂[cos(θ₁+θ₂) + i sin(θ₁+θ₂)]

مثال 3:

حوّل z = 1+i للصورة القطبية:

r = √(1+1) = √2 | θ = arctan(1/1) = 45°

z = √2(cos 45° + i sin 45°)

مثال 4:

بسّط: (1+i)⁴

|1+i| = √2 → |1+i|⁴ = 4 | arg = 45° → 4×45° = 180°

(1+i)⁴ = 4(cos180°+isin180°) = -4

⚠ أخطاء شائعة:

نسيان أن i² = -1 عند الضرب
خطأ في مرافق العدد (تغيير إشارة الجزء التخيلي فقط)
نسيان ضرب البسط والمقام معاً في المرافق عند القسمة

جدول عمليات الأعداد المركبة

العملية	القاعدة	مثال
الجمع	(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i	(3+2i) + (1+4i) = 4+6i
الطرح	(a+bi) − (c+di) = (a−c) + (b−d)i	(5+3i) − (2+i) = 3+2i
الضرب	(a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i	(2+3i)(1+4i) = −10+11i
المرافق	مرافق (a+bi) = a−bi	مرافق 3+2i = 3−2i
المقياس (المعامل)	\|a+bi\| = √(a²+b²)	\|3+4i\| = √(9+16) = 5
القسمة	اضرب البسط والمقام في مرافق المقام	(2+i)/(1−i) = اضرب في (1+i)/(1+i)
قوى i	i¹=i, i²=−1, i³=−i, i⁴=1 (تتكرر كل 4)	i²⁰ = (i⁴)⁵ = 1

جدول قوى الوحدة التخيلية i

القوة	القيمة	القوة	القيمة
i¹	i	i⁵	i
i²	−1	i⁶	−1
i³	−i	i⁷	−i
i⁴	1	i⁸	1

القاعدة: اقسم الأس على 4 وانظر الباقي: باقي 0→1، باقي 1→i، باقي 2→−1، باقي 3→−i

مثال محلول: الضرب

أوجد (3+2i)(4−i)

الحل: = 12 − 3i + 8i − 2i²

= 12 + 5i − 2(−1) = 12 + 5i + 2 = 14 + 5i

مثال محلول: القسمة

أوجد (5+3i)/(2−i)

الحل: نضرب في المرافق (2+i)/(2+i):

البسط = (5+3i)(2+i) = 10+5i+6i+3i² = 10+11i−3 = 7+11i

المقام = (2−i)(2+i) = 4−i² = 4+1 = 5

الناتج = (7+11i)/5 = 7/5 + (11/5)i

مثال محلول: قوى i

أوجد قيمة i⁵³

الحل: 53 ÷ 4 = 13 والباقي 1

إذاً i⁵³ = i¹ = i

⚠ تذكّر:

i² = −1 (أساس كل الحسابات)
عند القسمة: دائماً اضرب في مرافق المقام
المقياس |z| دائماً عدد حقيقي موجب
مرافق العدد المركب يغير إشارة الجزء التخيلي فقط