القطوع المخروطية
القطوع المخروطية
القطوع المخروطية هي المنحنيات الناتجة عن تقاطع مستوى مع مخروط. تشمل الدائرة والقطع الناقص والزائد والمكافئ.
أساسيات الهندسة التحليلية
الهندسة التحليلية تربط بين الجبر والهندسة باستخدام المستوى الإحداثي.
القوانين الأساسية:
• المسافة بين نقطتين: ف = √[(س₂-س₁)² + (ص₂-ص₁)²]
• نقطة المنتصف: م = ((س₁+س₂)/2 ، (ص₁+ص₂)/2)
• ميل الخط: م = (ص₂-ص₁) / (س₂-س₁)
• معادلة الخط (الميل ونقطة): ص - ص₁ = م(س - س₁)
• معادلة الخط (الميل والمقطع): ص = م×س + ب
• خطان متوازيان: م₁ = م₂
• خطان متعامدان: م₁ × م₂ = -1
مثال محلول 1:
ما المسافة بين النقطتين (1، 2) و (4، 6)؟
الحل: ف = √[(4-1)² + (6-2)²] = √[9 + 16] = √25 = 5
مثال محلول 2:
ما معادلة الخط المستقيم الذي ميله 2 ويمر بالنقطة (1، 3)؟
الحل: ص - 3 = 2(س - 1) ← ص = 2س - 2 + 3 ← ص = 2س + 1
1. الدائرة
المعادلة القياسية: (x-h)² + (y-k)² = r²
المركز: (h, k) | نصف القطر: r
2. القطع المكافئ
• يفتح للأعلى/الأسفل: (x-h)² = 4p(y-k)
• يفتح لليمين/اليسار: (y-k)² = 4p(x-h)
الرأس: (h,k) | البؤرة على بُعد p من الرأس
3. القطع الناقص
x²/a² + y²/b² = 1 (حيث a > b: المحور الأكبر أفقي)
c² = a² - b² (المسافة بين المركز والبؤرة)
4. القطع الزائد
• أفقي: x²/a² - y²/b² = 1
• رأسي: y²/a² - x²/b² = 1
c² = a² + b² (لاحظ الجمع بدلاً من الطرح)
مثال:
أوجد مركز ونصف قطر الدائرة: x² + y² - 6x + 4y - 12 = 0
نُكمل المربع: (x-3)² + (y+2)² = 12+9+4 = 25
المركز: (3, -2) | نصف القطر: 5
⚠ أخطاء شائعة:
- الخلط بين c²=a²-b² (ناقص) و c²=a²+b² (زائد)
- خطأ في إكمال المربع (نسيان إضافة القيمة للطرفين)
- الخلط بين a و b في تحديد اتجاه المحور الأكبر
الأشكال الرباعية والتشابه
الأشكال الرباعية هي مضلعات ذات 4 أضلاع. يُعدّ فهم خصائصها وعلاقات التشابه والتناسب جزءاً أساسياً من الهندسة.
خصائص الأشكال الرباعية:
• مجموع الزوايا الداخلية = 360 درجة
• المربع: 4 أضلاع متساوية و4 زوايا قائمة، القطران متساويان ومتعامدان
• المستطيل: أضلاع متقابلة متساوية و4 زوايا قائمة، القطران متساويان
• المعين: 4 أضلاع متساوية، القطران متعامدان وينصف كل منهما الآخر
• متوازي الأضلاع: أضلاع متقابلة متساوية ومتوازية، الزوايا المتقابلة متساوية
• شبه المنحرف: فيه ضلعان متوازيان فقط، مساحته = 0.5 × (القاعدة1 + القاعدة2) × الارتفاع
التشابه والتناسب:
• شكلان متشابهان: زواياهما المتناظرة متساوية وأضلاعهما المتناظرة متناسبة
• معامل التشابه (k) = نسبة الأضلاع المتناظرة
• نسبة المساحات = k² (مربع معامل التشابه)
• نسبة الحجوم = k³ (مكعب معامل التشابه)
• نظرية طاليس: إذا قطع مستقيمان متوازيان ضلعي زاوية فإنهما يقسمانهما إلى أجزاء متناسبة
مثال:
مثلثان متشابهان نسبة أضلاعهما 3:2. إذا كانت مساحة الأكبر 36 سم²، فما مساحة الأصغر؟
الحل: نسبة المساحات = (3/2)² = 9/4 ← مساحة الأصغر = 36 × (4/9) = 16 سم²
جدول مقارنة القطوع المخروطية
| الخاصية | الدائرة | القطع الناقص | القطع المكافئ | القطع الزائد |
|---|---|---|---|---|
| المعادلة القياسية | (x−h)² + (y−k)² = r² | (x−h)²/a² + (y−k)²/b² = 1 | y = a(x−h)² + k أو x = a(y−k)² + h | (x−h)²/a² − (y−k)²/b² = 1 |
| الاختلاف المركزي e | e = 0 | 0 < e < 1 | e = 1 | e > 1 |
| البؤر | لا يوجد (المركز) | بؤرتان على المحور الأطول | بؤرة واحدة | بؤرتان |
| العلاقة بين a, b, c | — | c² = a² − b² | — | c² = a² + b² |
| الشكل | دائري تام | بيضاوي | مفتوح من جهة واحدة | فرعان مفتوحان |
| التطبيق | العجلات، الساعات | مدارات الكواكب | مسار المقذوفات، الأطباق | الملاحة، موجات الصوت |
مثال محلول: القطع الناقص
اكتب معادلة قطع ناقص مركزه الأصل، محوره الأكبر أفقي بطول 10، ومحوره الأصغر بطول 6.
الحل: a = 10/2 = 5، b = 6/2 = 3
المعادلة: x²/25 + y²/9 = 1
البعد البؤري: c² = 25 − 9 = 16 → c = 4
مثال محلول: القطع المكافئ
أوجد إحداثيات البؤرة ومعادلة الدليل للقطع المكافئ y = x²/8
الحل: الصيغة x² = 4py → x² = 8y → 4p = 8 → p = 2
البؤرة: (0, 2)، الدليل: y = −2
مثال محلول: القطع الزائد
اكتب معادلة قطع زائد مركزه الأصل، بؤرتاه على محور x، a = 3، b = 4.
الحل: x²/9 − y²/16 = 1
c² = a² + b² = 9 + 16 = 25 → c = 5
البؤرتان: (±5, 0)، خطا التقارب: y = ±(4/3)x
كيف تميز نوع القطع المخروطي؟
| المعادلة العامة Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 | النوع |
|---|---|
| A = C و B = 0 | دائرة |
| A ≠ C ولهما نفس الإشارة و B = 0 | قطع ناقص |
| A = 0 أو C = 0 (أحدهما فقط) | قطع مكافئ |
| A و C لهما إشارتان مختلفتان | قطع زائد |