رياضيات١٥ من ٦٢

اللوغاريتمات

اللوغاريتم ببساطة هو السؤال العكسي للأُس: «إلى أي قوة نرفع الأساس لنحصل على هذا العدد؟». إذا أتقنت هذه الفكرة وقوانينها الخمسة، فستحلّ المعادلات الأسية واللوغاريتمية في ثوانٍ، وستتجنّب أشهر الأخطاء التي توقع الطلاب في التحصيلي.

١. التعريف والعلاقة بالأُس

قاعدة إذا كان a^x = b فإن logₐ(b) = x، بشرط أن يكون a > ٠ و a ≠ ١ و b > ٠. أي أن اللوغاريتم يخبرنا بـ«الأُس» الذي نرفع إليه الأساس a لنحصل على b.

ملاحظة log₁₀ يُختصر إلى log ويُسمّى اللوغاريتم العشري. أما logₑ فيُكتب ln ويُسمّى اللوغاريتم الطبيعي حيث e ≈ ٢٫٧١٨.

^x = b logₐ(b) = x «ارفع a للأس x» «ما الأس الذي يعطي b؟» الأُس واللوغاريتم عمليتان عكسيتان: كلّ صيغة تُترجَم إلى الأخرى.

٢. قوانين اللوغاريتمات الأساسية

قاعدة القوانين الخمسة التي يُبنى عليها كل شيء:

لوغاريتم الضرب: logₐ(xy) = logₐ(x) + logₐ(y)
لوغاريتم القسمة: logₐ(x/y) = logₐ(x) − logₐ(y)
لوغاريتم الأُس: logₐ(xⁿ) = n × logₐ(x)
حالتان خاصتان: logₐ(a) = ١ و logₐ(١) = ٠
تغيير الأساس: logₐ(b) = log(b)/log(a)

مثال محلول جِد log₂(٨).

اكتب ٨ كقوة للأساس ٢: ٨ = ٢^٣
طبّق قانون الأُس: log₂(٢^٣) = ٣ × log₂(٢)
وبما أن log₂(٢) = ١ فالناتج = ٣

مثال محلول حلّ المعادلة الأسية ٢^x = ٣٢.

وحّد الأساس: ٣٢ = ٢^٥ فتصبح ٢^x = ٢^٥
تساوي الأساسين يعني تساوي الأُسّين: x = ٥

مثال محلول بسّط log₃(٢٧) − log₃(٩).

طبّق قانون القسمة: log₃(٢٧/٩) = log₃(٣)
وبما أن logₐ(a) = ١ فالناتج = ١

٣. اللوغاريتم الطبيعي ln

قاعدة اللوغاريتم الطبيعي أساسه e:

ln(e) = ١ ، ln(١) = ٠ ، ln(e^x) = x ، e^{ln x} = x

كما أن مشتقة ln(x) تساوي ١/x، وتكامل ١/x يساوي ln|x| + C.

٤. تطبيقات اللوغاريتمات

النمو الأسي
N = N₀ · e^kt
نمو السكان وتكاثر البكتيريا

الاضمحلال الأسي
N = N₀ · e^−kt
عمر النصف الإشعاعي

مقياس ريختر
سُلّم لوغاريتمي
كل درجة = ١٠ أضعاف الشدة

^kt اضمحلال e^−kt النمو الأسي يتصاعد بلا حدود، والاضمحلال يقترب من محور الزمن دون أن يبلغه.

مثال محلول بسّط 2log₃(٩) + log₃(٣).

log₃(٩) = ٢ لأن ٣^٢ = ٩
عوّض: ٢ × ٢ + ١ = ٥

مثال محلول أوجد log₄(١٦) باستخدام تغيير الأساس إلى ٢.

logₐ(b) = log₂(b)/log₂(a)، إذن log₄(١٦) = log₂(١٦)/log₂(٤)
= ٤/٢ = ٢

أخطاء شائعة

الخطأ الأشهر: log(a+b) ≠ log(a) + log(b). القوانين تعمل مع الضرب والقسمة فقط، لا مع الجمع.
log(a−b) ≠ log(a) − log(b) كذلك.
لوغاريتم عدد سالب أو صفر غير معرّف؛ والأساس يجب أن يكون موجباً ولا يساوي ١.
لا تخلط بين log (أساسه ١٠) و ln (أساسه e).

جدول قوانين اللوغاريتمات

القانون	الصيغة	مثال
التعريف	logₐ b = c يعني a^c = b	log₂ ٨ = ٣ لأن ٢^٣ = ٨
لوغاريتم الضرب	log(AB) = logA + logB	log(٢×٥) = log2 + log5
لوغاريتم القسمة	log(A/B) = logA − logB	log(١٠/٢) = log10 − log2
لوغاريتم الأُس	log(Aⁿ) = n·logA	log(x^٣) = 3logx
تغيير الأساس	logₐ b = logb/loga = lnb/lna	log₂ ٥ = log5/log2
logₐ a	= ١ دائماً	log₁₀ ١٠ = ١، ln e = ١
logₐ ١	= ٠ دائماً	log ١ = ٠، ln ١ = ٠
logₐ (١/b)	= −logₐ b	log(١/١٠٠) = −log100 = −٢
a^{logₐ x}	= x	١٠^{log ٥} = ٥

الفرق بين log و ln

	log (العشري)	ln (الطبيعي)
الأساس	١٠	e ≈ ٢٫٧١٨
الكتابة	log x أو log₁₀ x	ln x أو logₑ x
الاستخدام	الحسابات العامة والآلة الحاسبة	التفاضل والتكامل والنمو والاضمحلال
مثال	log ١٠٠ = ٢ لأن ١٠^٢ = ١٠٠	ln e^٢ = ٢

قيم لوغاريتمية شائعة (log₁₀)

القيمة	log₁₀	القيمة	log₁₀
١	٠	١٠٠	٢
٢	٠٫٣٠١	١٠٠٠	٣
٣	٠٫٤٧٧	٠٫١	−١
٥	٠٫٦٩٩	٠٫٠١	−٢
١٠	١	٠٫٠٠١	−٣

أمثلة محلولة إضافية

مثال محلول حلّ المعادلة اللوغاريتمية log₂(x) = ٥.

حوّل إلى الصيغة الأسية: x = ٢^٥
x = ٣٢

مثال محلول بسّط log ٢٠ + log ٥.

قانون الضرب: log(٢٠ × ٥) = log ١٠٠
= ٢

مثال محلول أوجد log₃ ٨١ بطريقتين.

مباشرة: ٣^٤ = ٨١، إذن log₃ ٨١ = ٤
بتغيير الأساس: log81/log3 = ١٫٩٠٨/٠٫٤٧٧ ≈ ٤

مثال محلول حلّ ٣^x = ٢٠ (الأساس لا يتوحّد).

خذ log للطرفين: x·log3 = log20
x = log20/log3 = ١٫٣٠١/٠٫٤٧٧
≈ ٢٫٧٢٧

مثال محلول بسّط 2log3 − log9 + log(١/٣).

2log3 = log3^٢ = log9
log(١/٣) = −log3
= log9 − log9 − log3 = ٠ − log3 = −log3 ≈ −٠٫٤٧٧

حيلة سريعة عند حل معادلة أسية: إن أمكن توحيد الأساس فساوِ الأُسّين مباشرةً؛ وإن لم يمكن (مثل ٣^x = ٢٠) فخذ log للطرفين وحوّلها إلى قسمة لوغاريتمين.

الدوال الأسية

الدالة الأسية على الصورة د(س) = أ^س حيث أ > ٠ وأ ≠ ١، وهي العملية العكسية للوغاريتم.

قاعدة خصائص الدالة الأسية:

المجال: جميع الأعداد الحقيقية · المدى: الأعداد الموجبة فقط، د(س) > ٠.
إذا أ > ١ فالدالة متزايدة (نمو)، وإذا ٠ < أ < ١ فمتناقصة (اضمحلال).
لها خط تقارب أفقي هو محور السينات (ص = ٠)، وتمرّ دائماً بالنقطة (٠، ١).
الأساس الطبيعي e ≈ ٢٫٧١٨ يعطي الدالة الأسية الطبيعية د(س) = e^س.

^س الدالة الأسية المتزايدة (أ>١): تمرّ بـ(٠،١) وتقترب من محور السينات دون لمسه.

مثال محلول حلّ المعادلة الأسية ٢^س = ٣٢.

وحّد الأساس: ٢^س = ٢^٥
تساوي الأساس يعني تساوي الأُس: س = ٥

الخلاصة

logₐ(b) = x يكافئ a^x = b — اللوغاريتم والأُس عمليتان عكسيتان.
القوانين الثلاثة الأساسية: ضرب ← جمع، قسمة ← طرح، أُس ← ضرب في معامل.
logₐ(a) = ١ و logₐ(١) = ٠ دائماً؛ وتغيير الأساس: logₐ(b) = log(b)/log(a).
ln أساسه e؛ يُستخدم في التفاضل والتكامل والنمو والاضمحلال، و log أساسه ١٠.
الخطأ القاتل: log(a+b) ≠ log(a)+log(b)، ولوغاريتم عدد سالب أو صفر غير معرّف.
لحل معادلة أسية: وحّد الأساس إن أمكن، وإلا فخذ log للطرفين.