اللوغاريتم هو العملية العكسية للأُس. إذا كان aˣ = b فإن logₐ(b) = x.
إذا aˣ = b فإن logₐ(b) = x (حيث a > 0, a ≠ 1, b > 0)
log₁₀ يُكتب log (اللوغاريتم العشري)
logₑ يُكتب ln (اللوغاريتم الطبيعي، e ≈ 2.718)
1. logₐ(xy) = logₐ(x) + logₐ(y)
2. logₐ(x/y) = logₐ(x) - logₐ(y)
3. logₐ(xⁿ) = n × logₐ(x)
4. logₐ(a) = 1 | logₐ(1) = 0
5. تغيير الأساس: logₐ(b) = log(b)/log(a)
مثال 1:
log₂(8) = log₂(2³) = 3 × log₂(2) = 3
مثال 2 (حل معادلة أسية):
2ˣ = 32 → 2ˣ = 2⁵ → x = 5
ln(e) = 1 | ln(1) = 0
ln(eˣ) = x | e^(ln x) = x
مشتقة ln(x) = 1/x | تكامل 1/x = ln|x| + C
مثال 3:
log₃(27) - log₃(9) = log₃(27/9) = log₃(3) = 1
النمو الأسي: N = N₀ × eᵏᵗ (نمو السكان، تكاثر البكتيريا)
الاضمحلال: N = N₀ × e⁻ᵏᵗ (عمر النصف الإشعاعي)
مقياس ريختر: كل درجة = 10 أضعاف الشدة (لوغاريتمي)
مثال 4:
بسّط: 2log₃(9) + log₃(3)
= 2×2 + 1 = 5 (لأن log₃9 = 2)
مثال 5 (تغيير الأساس):
أوجد log₄(16) باستخدام log₂
log₄(16) = log₂(16)/log₂(4) = 4/2 = 2
⚠ أخطاء شائعة:
| القانون | الصيغة | مثال |
|---|---|---|
| التعريف | logₐ b = c يعني aᶜ = b | log₂ 8 = 3 لأن 2³ = 8 |
| لوغاريتم الضرب | log(AB) = logA + logB | log(2×5) = log2 + log5 |
| لوغاريتم القسمة | log(A/B) = logA − logB | log(10/2) = log10 − log2 |
| لوغاريتم الأس | log(Aⁿ) = n·logA | log(x³) = 3logx |
| تغيير الأساس | logₐ b = logb/loga = lnb/lna | log₂ 5 = log5/log2 |
| logₐ a | = 1 دائماً | log₁₀ 10 = 1، ln e = 1 |
| logₐ 1 | = 0 دائماً | log 1 = 0، ln 1 = 0 |
| logₐ (1/b) | = −logₐ b | log(1/100) = −log100 = −2 |
| a^(logₐ x) | = x | 10^(log 5) = 5 |
| log (اللوغاريتم العشري) | ln (اللوغاريتم الطبيعي) | |
|---|---|---|
| الأساس | 10 | e ≈ 2.718 |
| الكتابة | log x أو log₁₀ x | ln x أو logₑ x |
| الاستخدام | الحسابات العامة، الآلة الحاسبة | التفاضل والتكامل، النمو والاضمحلال |
| مثال | log 100 = 2 (لأن 10² = 100) | ln e² = 2 (لأن e² = e²) |
| القيمة | log₁₀ | القيمة | log₁₀ |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 100 | 2 |
| 2 | 0.301 | 1000 | 3 |
| 3 | 0.477 | 0.1 | −1 |
| 5 | 0.699 | 0.01 | −2 |
| 10 | 1 | 0.001 | −3 |
مثال محلول: حل معادلة لوغاريتمية
حل: log₂(x) = 5
الحل: بتحويل إلى صيغة أسية:
x = 2⁵ = 32
مثال محلول: استخدام القوانين
بسّط: log 20 + log 5
الحل: log 20 + log 5 = log(20 × 5) = log 100 = 2
مثال محلول: تغيير الأساس
أوجد قيمة log₃ 81
الحل الأول: 3⁴ = 81 → log₃ 81 = 4
الحل الثاني (تغيير أساس): log₃ 81 = log81/log3 = 1.908/0.477 ≈ 4
مثال محلول: معادلة أسية
حل: 3ˣ = 20
الحل: نأخذ log للطرفين:
x·log3 = log20
x = log20/log3 = 1.301/0.477 ≈ 2.727
مثال محلول: تبسيط معقد
بسّط: 2log3 − log9 + log(1/3)
الحل:
= log3² − log9 + log(1/3)
= log9 − log9 + (−log3)
= 0 − log3 = −log3 ≈ −0.477
⚠ أخطاء شائعة إضافية: