المصفوفة هي ترتيب مستطيل من الأعداد في صفوف وأعمدة. تُستخدم في حل أنظمة المعادلات الخطية وتطبيقات هندسية وعلمية متعددة.
رتبة المصفوفة = عدد الصفوف × عدد الأعمدة (m × n)
• مصفوفة مربعة: عدد الصفوف = عدد الأعمدة (n × n)
• مصفوفة الوحدة I: مصفوفة مربعة قطرها الرئيسي كله 1 والباقي 0
• مصفوفة صفرية: جميع عناصرها = 0
الجمع والطرح: يتم عنصر بعنصر (يشترط تساوي الرتبة)
الضرب في عدد: نضرب كل عنصر في العدد
ضرب المصفوفات: A(m×n) × B(n×p) = C(m×p)
العنصر Cij = مجموع حاصل ضرب الصف i من A في العمود j من B
مثال ضرب مصفوفات:
A = [1, 2; 3, 4] و B = [5, 6; 7, 8]
A×B = [1×5+2×7, 1×6+2×8; 3×5+4×7, 3×6+4×8] = [19, 22; 43, 50]
مصفوفة 2×2: |A| = ad - bc حيث A = [a,b; c,d]
إذا كان |A| = 0 فالمصفوفة شاذة (ليس لها معكوس)
مثال:
A = [3, 1; 2, 5] → |A| = 3×5 - 1×2 = 15 - 2 = 13
معكوس مصفوفة 2×2: A⁻¹ = (1/|A|) × [d, -b; -c, a]
حل النظام AX = B → X = A⁻¹ × B
المنقولة Aᵀ: تبديل الصفوف والأعمدة. إذا A(m×n) فإن Aᵀ(n×m)
مصفوفة متماثلة: A = Aᵀ (أي aij = aji)
مصفوفة قطرية: جميع عناصرها صفر ما عدا القطر الرئيسي
خاصية: (AB)ᵀ = BᵀAᵀ | (A+B)ᵀ = Aᵀ+Bᵀ
مثال حل نظام بالمصفوفات:
2x + y = 5 و x + 3y = 10
A = [2,1;1,3] | B = [5;10] | |A| = 6-1 = 5
A⁻¹ = (1/5)[3,-1;-1,2] → X = A⁻¹B = (1/5)[5;15] = [1;3]
الحل: x=1, y=3
⚠ أخطاء شائعة:
| العملية | الشرط | القاعدة | مثال |
|---|---|---|---|
| الجمع A + B | نفس الأبعاد | جمع العناصر المتناظرة | [1,2] + [3,4] = [4,6] |
| الطرح A − B | نفس الأبعاد | طرح العناصر المتناظرة | [5,3] − [1,2] = [4,1] |
| الضرب بعدد k·A | دائماً ممكن | ضرب كل عنصر في k | 2·[1,3] = [2,6] |
| ضرب المصفوفات A×B | أعمدة A = صفوف B | صف × عمود | A(m×n) × B(n×p) = C(m×p) |
| المنقولة Aᵀ | دائماً ممكن | تبديل الصفوف والأعمدة | [1,2; 3,4]ᵀ = [1,3; 2,4] |
| المحدد |A| | مصفوفة مربعة فقط | ad − bc (لمصفوفة 2×2) | |[2,3; 1,4]| = 8−3 = 5 |
| المعكوسة A⁻¹ | |A| ≠ 0 | A⁻¹ = (1/|A|)[d,−b; −c,a] | تُستخدم لحل المعادلات |
لضرب A(2×3) × B(3×2) = C(2×2):
العنصر C(i,j) = مجموع حاصل ضرب عناصر الصف i من A في عناصر العمود j من B
مثال محلول: ضرب المصفوفات
A = [1, 2; 3, 4] و B = [5, 6; 7, 8]. أوجد A × B.
الحل:
C₁₁ = 1×5 + 2×7 = 5+14 = 19
C₁₂ = 1×6 + 2×8 = 6+16 = 22
C₂₁ = 3×5 + 4×7 = 15+28 = 43
C₂₂ = 3×6 + 4×8 = 18+32 = 50
A×B = [19, 22; 43, 50]
مثال محلول: المحدد والمعكوسة
أوجد محدد ومعكوسة المصفوفة A = [3, 1; 5, 2]
الحل: |A| = 3×2 − 1×5 = 6−5 = 1
A⁻¹ = (1/1)[2, −1; −5, 3] = [2, −1; −5, 3]
مثال محلول: حل نظام معادلات بالمصفوفات
حل: 3x + y = 7 و 5x + 2y = 12
الحل: AX = B حيث A = [3,1; 5,2]، X = [x; y]، B = [7; 12]
X = A⁻¹ × B = [2,−1; −5,3] × [7; 12]
x = 2(7) + (−1)(12) = 14−12 = 2
y = −5(7) + 3(12) = −35+36 = 1
⚠ تذكّر: