الاحتمالات تدرس إمكانية وقوع حدث ما. تتراوح قيمة الاحتمال من 0 (مستحيل) إلى 1 (مؤكد).
التباديل (الترتيب مهم): P(n,r) = n!/(n-r)!
التوافيق (الترتيب غير مهم): C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)
المضروب: n! = n × (n-1) × ... × 2 × 1 و 0! = 1
مثال تباديل:
كم طريقة لترتيب 3 أشخاص من 5؟
P(5,3) = 5!/2! = 120/2 = 60 طريقة
مثال توافيق:
كم طريقة لاختيار 3 من 5 بدون ترتيب؟
C(5,3) = 5!/(3!×2!) = 120/12 = 10 طرق
P(A) = عدد النتائج المرغوبة / إجمالي النتائج
P(A أو B) = P(A) + P(B) - P(A و B)
P(A') = 1 - P(A) (المتممة)
إذا A و B مستقلان: P(A و B) = P(A) × P(B)
P(A|B) = P(A و B) / P(B)
احتمال وقوع A بشرط أن B وقع فعلاً
مثال:
كيس 4 كرات حمراء و6 زرقاء. احتمال سحب حمراء ثم زرقاء بدون إرجاع:
P = (4/10) × (6/9) = 24/90 = 4/15
القيمة المتوقعة: E(X) = Σ xᵢP(xᵢ)
نظرية بايز: P(A|B) = P(B|A)×P(A) / P(B)
تُستخدم عندما نريد تحديث الاحتمال بناءً على معلومات جديدة
مثال القيمة المتوقعة:
حجر نرد: E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5
مثال عملي:
في صف 30 طالباً: 18 يحبون الرياضيات و12 لا. اختير 3 عشوائياً.
P(3 يحبون) = C(18,3)/C(30,3) = 816/4060 ≈ 0.20
⚠ أخطاء شائعة:
| القانون | الصيغة | متى يُستخدم |
|---|---|---|
| احتمال حدث | P(A) = عدد النتائج المطلوبة / عدد النتائج الكلية | حساب احتمال بسيط |
| المتممة | P(A') = 1 − P(A) | احتمال عدم وقوع الحدث |
| الاتحاد (أو) | P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) | احتمال وقوع أحد الحدثين أو كليهما |
| أحداث متنافية | P(A∪B) = P(A) + P(B) | إذا لم يمكن وقوعهما معاً |
| التقاطع (و) مستقلان | P(A∩B) = P(A) × P(B) | أحداث مستقلة (لا يؤثر أحدهما على الآخر) |
| الاحتمال الشرطي | P(A|B) = P(A∩B) / P(B) | احتمال A بشرط وقوع B |
| التباديل | P(n,r) = n!/(n−r)! | ترتيب r عنصر من n (الترتيب مهم) |
| التوافيق | C(n,r) = n!/[r!(n−r)!] | اختيار r عنصر من n (الترتيب غير مهم) |
| نظرية بيز | P(A|B) = P(B|A)·P(A)/P(B) | عكس الاحتمال الشرطي |
| التباديل (Permutations) | التوافيق (Combinations) | |
|---|---|---|
| الترتيب | مهم | غير مهم |
| الصيغة | P(n,r) = n!/(n−r)! | C(n,r) = n!/[r!(n−r)!] |
| مثال | ترتيب 3 طلاب في صف (ABC ≠ BAC) | اختيار 3 طلاب للفريق ({A,B,C} = {B,A,C}) |
| عدد النتائج | أكثر (كل ترتيب يُحسب) | أقل (الترتيب لا يُحسب) |
| كلمات مفتاحية | ترتيب، تسلسل، أول وثاني | اختيار، مجموعة، لجنة، فريق |
مثال محلول: التوافيق
كم طريقة لاختيار 3 طلاب من 10 لتمثيل المدرسة؟
الحل: الترتيب غير مهم → نستخدم التوافيق
C(10,3) = 10!/(3! × 7!) = (10×9×8)/(3×2×1) = 120 طريقة
مثال محلول: التباديل
كم طريقة لترتيب 4 كتب مختلفة على رف يتسع لكتابين فقط؟
الحل: الترتيب مهم → نستخدم التباديل
P(4,2) = 4!/(4−2)! = 4!/2! = (4×3×2!)/2! = 12 طريقة
مثال محلول: أحداث مستقلة
رمي قطعة نقد وحجر نرد. ما احتمال ظهور صورة ورقم 6؟
الحل: الحدثان مستقلان
P(صورة) = 1/2، P(6) = 1/6
P(صورة و 6) = 1/2 × 1/6 = 1/12
مثال محلول: الاحتمال الشرطي
صندوق فيه 5 كرات حمراء و 3 زرقاء. سُحبت كرة حمراء ولم تُعَد. ما احتمال أن الثانية حمراء؟
الحل: بعد السحب: 4 حمراء و 3 زرقاء (المجموع 7)
P = 4/7 ≈ 0.571
| n | n! | n | n! |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 6 | 720 |
| 1 | 1 | 7 | 5040 |
| 2 | 2 | 8 | 40320 |
| 3 | 6 | 9 | 362880 |
| 4 | 24 | 10 | 3628800 |
| 5 | 120 |
⚠ أخطاء شائعة إضافية: