المتتاليات والمتسلسلات

المتتاليات هي مجموعة من الأعداد مرتبة وفق نمط معين. فهمها ضروري للتحصيلي.

الفرق بين كل حدّين متتاليين ثابت ويُسمى أساس المتتالية (d).

الحد النوني: aₙ = a₁ + (n-1)d

مجموع n حد: Sₙ = n/2 × (a₁ + aₙ) = n/2 × (2a₁ + (n-1)d)

مثال:

متتالية حسابية حدها الأول 5 وأساسها 3. أوجد الحد العاشر ومجموع أول 10 حدود.

a₁₀ = 5 + (10-1)×3 = 5 + 27 = 32

S₁₀ = 10/2 × (5+32) = 5 × 37 = 185

النسبة بين كل حدّين متتاليين ثابتة وتُسمى أساس المتتالية (r).

الحد النوني: aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹

مجموع n حد: Sₙ = a₁(1-rⁿ)/(1-r) (حيث r ≠ 1)

مجموع لا نهائي: S∞ = a₁/(1-r) (حيث |r| < 1)

مثال:

متتالية هندسية: 2, 6, 18, ... أوجد الحد السادس.

r = 6/2 = 3 | a₆ = 2 × 3⁵ = 2 × 243 = 486

⚠ أخطاء شائعة:

الخاصية	المتتالية الحسابية	المتتالية الهندسية
التعريف	الفرق بين كل حدين متتاليين ثابت (d)	النسبة بين كل حدين متتاليين ثابتة (r)
الحد النوني aₙ	a₁ + (n−1)d	a₁ × rⁿ⁻¹
مجموع n حد Sₙ	n/2 × (a₁ + aₙ) أو n/2 × (2a₁ + (n−1)d)	a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
المجموع اللانهائي	لا يوجد (تتباعد دائماً)	a₁/(1 − r) فقط إذا \|r\| < 1
مثال	2, 5, 8, 11, ... (d = 3)	2, 6, 18, 54, ... (r = 3)
كيف تعرفها؟	اطرح حدين متتاليين → فرق ثابت	اقسم حدين متتاليين → نسبة ثابتة

القانون	الصيغة	استخدامه
الحد النوني (حسابية)	aₙ = a₁ + (n−1)d	إيجاد أي حد في المتتالية
المجموع (حسابية)	Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2	مجموع عدد محدد من الحدود
الحد النوني (هندسية)	aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹	إيجاد أي حد في المتتالية
المجموع (هندسية)	Sₙ = a₁(1−rⁿ)/(1−r)	مجموع عدد محدد من الحدود
المجموع اللانهائي	S∞ = a₁/(1−r)	مجموع متتالية هندسية لا نهائية (\|r\|<1)
الحد الأوسط (حسابية)	aₖ = (aₖ₋₁ + aₖ₊₁)/2	متوسط الحدين المجاورين
الحد الأوسط (هندسية)	aₖ² = aₖ₋₁ × aₖ₊₁	الجذر التربيعي لحاصل ضرب المجاورين

مثال محلول:

متتالية حسابية حدها الأول 3 وأساسها 4. أوجد الحد العشرين ومجموع أول 20 حداً.

الحل:

a₂₀ = 3 + (20−1)(4) = 3 + 76 = 79

S₂₀ = 20/2 × (3 + 79) = 10 × 82 = 820

مثال محلول:

متتالية هندسية: 4, 12, 36, ... أوجد مجموع أول 5 حدود.

الحل: r = 12/4 = 3، a₁ = 4

S₅ = 4(1−3⁵)/(1−3) = 4(1−243)/(−2) = 4(−242)/(−2) = 484

مثال محلول:

أوجد مجموع المتتالية الهندسية اللانهائية: 8, 4, 2, 1, ...

الحل: r = 4/8 = 1/2، بما أن |r| = 1/2 < 1:

S∞ = 8/(1 − 1/2) = 8/(1/2) = 16

⚠ تنبيهات مهمة: