حساب المثلثات
حساب المثلثات
حساب المثلثات يربط بين زوايا المثلث وأطوال أضلاعه عبر نسبٍ ثابتة. إتقانه يفتح لك بابًا واسعًا من أسئلة التحصيلي في الرياضيات، من المثلث القائم البسيط إلى المتطابقات وقانوني الجيب وجيب التمام.
١. النسب المثلثية الأساسية
في المثلث القائم الزاوية، نسمّي الأضلاع بالنسبة إلى الزاوية θ: المقابل (أمام الزاوية)، والمجاور (بجانبها)، والوتر (أطول ضلع، أمام الزاوية القائمة).
ملاحظة عن الرموز
في بعض كتب المدرسة تُكتب النسب المثلثية بالرموز العربية: جا (sin)، جتا (cos)، ظا (tan). في اختبار التحصيلي تظهر بالرموز اللاتينية sin, cos, tan — وهي نفسها تماماً، فلا ترتبك عند رؤية أيٍّ منهما.
sin θ (sin) = المقابل ÷ الوتر • cos θ (cos) = المجاور ÷ الوتر • tan θ (tan) = المقابل ÷ المجاور = sin θ / cos θ
احفظها بالحروف الأولى: sin = قابل/وتر، cos = جاور/وتر، tan = قابل/جاور. أمّا النسب المقلوبة فهي: csc θ (csc) = ١/sin θ، وقا θ (sec) = ١/cos θ، وظتا θ (cot) = ١/tan θ.
٢. الزوايا الخاصة
قيم هذه الزوايا تتكرر كثيرًا؛ احفظها عن ظهر قلب لأنها تظهر في معظم الأسئلة.
| θ | ٠° | ٣٠° | ٤٥° | ٦٠° | ٩٠° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin θ | ٠ | ١/٢ | √٢/٢ | √٣/٢ | ١ |
| cos θ | ١ | √٣/٢ | √٢/٢ | ١/٢ | ٠ |
| tan θ | ٠ | ١/√٣ | ١ | √٣ | غير معرّف |
مثلث قائم وتره = ١٠ وإحدى زواياه = ٣٠°. أوجد الضلع المقابل لها.
- sin ٣٠° = المقابل ÷ الوتر
- ١/٢ = المقابل ÷ ١٠
- المقابل = ١٠ × ١/٢ = ٥
٣. المتطابقات المثلثية
وهذه أهم المتطابقات التي تُستخدم في التبسيط والحل:
• sin(A+B) = sinA·cosB + cosA·sinB
• sin(A−B) = sinA·cosB − cosA·sinB
• cos(A+B) = cosA·cosB − sinA·sinB
• cos(A−B) = cosA·cosB + sinA·sinB
• sin ٢θ = ٢·sinθ·cosθ
• cos ٢θ = cos²θ − sin²θ = 2cos²θ − ١ = ١ − 2sin²θ
• sin(θ/٢) = ±√((١−cosθ)/٢) ، cos(θ/٢) = ±√((١+cosθ)/٢)
٤. قانونا الجيب وجيب التمام
a/sinA = b/sinB = c/sinC
عند معرفة زاوية وضلعها المقابل + عنصر آخر.
c² = a² + b² − 2ab·cosC
عند معرفة ضلعين والزاوية المحصورة بينهما.
في مثلث ABC: الزاوية A = ٤٥°، الزاوية B = ٦٠°، والضلع a = ٨ سم. أوجد الضلع b.
- بقانون الجيب: a/sinA = b/sinB
- ٨/sin45° = b/sin60° → ٨/(√٢/٢) = b/(√٣/٢)
- b = ٨ × (√٣/٢) ÷ (√٢/٢) = ٨·√٣/√٢ = ٨√٦/٢
- b = ٤√٦ ≈ ٩٫٨ سم
مثلث فيه a = ٥، b = ٧، والزاوية المحصورة C = ٦٠°. أوجد الضلع c.
- c² = a² + b² − 2ab·cosC
- c² = ٢٥ + ٤٩ − ٢(٥)(٧)cos60° = ٧٤ − ٧٠(٠٫٥)
- c² = ٧٤ − ٣٥ = ٣٩
- c = √٣٩ ≈ ٦٫٢٤ سم
٥. جدول ملخّص القوانين
| القانون | الصيغة | متى نستخدمه |
|---|---|---|
| قانون الجيب | a/sinA = b/sinB = c/sinC | زاوية وضلعها المقابل + زاوية أخرى |
| قانون جيب التمام | c² = a² + b² − 2ab·cosC | ضلعان والزاوية المحصورة بينهما |
| مساحة المثلث | ½ × a × b × sinC | ضلعان والزاوية المحصورة |
| متطابقة فيثاغورس | sin²θ + cos²θ = ١ | تبسيط التعابير المثلثية |
| ضعف الزاوية | sin ٢θ = ٢·sinθ·cosθ | إيجاد قيم ضعف الزاوية |
- الخلط بين المقابل والمجاور — المقابل هو الضلع الذي أمام الزاوية.
- نسيان أن tan ٩٠° غير معرّف.
- الخلط بين الراديان والدرجات في الآلة الحاسبة (π راديان = ١٨٠°).
- عدم تحديد الرُّبع الصحيح عند إيجاد الزوايا المرجعية.
- الوقوع في الخطأ: sin(A+B) ≠ sinA + sinB.
الخلاصة
- النسب الأساسية: sin = مقابل/وتر، cos = مجاور/وتر، tan = مقابل/مجاور.
- احفظ جدول الزوايا الخاصة (٠، ٣٠، ٤٥، ٦٠، ٩٠) وقيمها.
- المتطابقة الأمّ: sin²θ + cos²θ = ١، ومنها تُشتق متطابقات المجموع والفرق وضعف الزاوية.
- قانون الجيب لزاوية وضلعها المقابل، وقانون جيب التمام لضلعين وزاوية محصورة.
- انتبه للراديان مقابل الدرجات، ولا تخلط بين المقابل والمجاور.