حساب المثلثات
حساب المثلثات (Trigonometry)
حساب المثلثات يدرس العلاقة بين زوايا المثلث وأضلاعه. هو من المواضيع الأساسية في التحصيلي لقسم الرياضيات.
1. النسب المثلثية الأساسية
جا θ (sin θ) = المقابل ÷ الوتر
جتا θ (cos θ) = المجاور ÷ الوتر
ظا θ (tan θ) = المقابل ÷ المجاور = sin θ / cos θ
طريقة الحفظ: جَ قَ وَ (جا = قابل/وتر) | جتا جَ وَ (جتا = جاور/وتر) | ظا قَ جَ (ظا = قابل/جاور)
2. الزوايا الخاصة
| θ | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin θ | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cos θ | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| tan θ | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | غ.م |
مثال:
مثلث قائم فيه الوتر = 10 وزاوية = 30°. أوجد الضلع المقابل.
sin 30° = المقابل/10 → 1/2 = المقابل/10 → المقابل = 5
3. المتطابقات المثلثية
• sin²θ + cos²θ = 1
• sin(A+B) = sinA·cosB + cosA·sinB
• cos(A+B) = cosA·cosB - sinA·sinB
• sin 2θ = 2·sinθ·cosθ | cos 2θ = cos²θ - sin²θ
4. قانون الجيب وجيب التمام
قانون الجيب: a/sinA = b/sinB = c/sinC
قانون جيب التمام: c² = a² + b² - 2ab·cosC
⚠ أخطاء شائعة:
- الخلط بين المقابل والمجاور (المقابل هو الضلع أمام الزاوية)
- نسيان أن tan 90° غير معرّف
- الخلط بين الراديان والدرجات في الآلة الحاسبة
5. جدول ملخص القوانين المثلثية
| القانون | الصيغة | متى نستخدمه |
|---|---|---|
| قانون الجيب | a/sinA = b/sinB = c/sinC | معرفة زاوية وضلع مقابل لها + زاوية أخرى |
| قانون جيب التمام | c² = a² + b² − 2ab·cosC | معرفة ضلعين والزاوية المحصورة بينهما |
| مساحة المثلث | ½ × a × b × sinC | معرفة ضلعين والزاوية المحصورة |
| متطابقة فيثاغورس | sin²θ + cos²θ = 1 | تبسيط التعابير المثلثية |
| ضعف الزاوية | sin2θ = 2sinθcosθ | إيجاد قيم ضعف الزاوية |
مثال محلول:
في مثلث ABC: الزاوية A = 45°، الزاوية B = 60°، الضلع a = 8 سم. أوجد الضلع b.
الحل: بقانون الجيب: a/sinA = b/sinB
8/sin45° = b/sin60°
8/(√2/2) = b/(√3/2)
b = 8 × (√3/2) ÷ (√2/2) = 8 × √3/√2 = 8√6/2 = 4√6 ≈ 9.8 سم
مثال محلول:
مثلث فيه الأضلاع a=5، b=7، الزاوية المحصورة C=60°. أوجد الضلع c.
الحل: c² = a² + b² − 2ab·cosC
c² = 25 + 49 − 2(5)(7)cos60° = 74 − 70(0.5) = 74 − 35 = 39
c = √39 ≈ 6.24 سم
6. ملخص المتطابقات المثلثية
| المتطابقة | الصيغة |
|---|---|
| مجموع الزوايا | sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB |
| فرق الزوايا | sin(A−B) = sinAcosB − cosAsinB |
| مجموع (جتا) | cos(A+B) = cosAcosB − sinAsinB |
| فرق (جتا) | cos(A−B) = cosAcosB + sinAsinB |
| ضعف الزاوية (جا) | sin2A = 2sinAcosA |
| ضعف الزاوية (جتا) | cos2A = cos²A − sin²A = 2cos²A − 1 = 1 − 2sin²A |
| نصف الزاوية (جا) | sin(A/2) = ±√((1−cosA)/2) |
| نصف الزاوية (جتا) | cos(A/2) = ±√((1+cosA)/2) |
⚠ أخطاء إضافية شائعة:
- عدم تحديد الربع الصحيح عند حساب الزوايا المرجعية
- نسيان أن sin(A+B) ≠ sinA + sinB
- الخلط بين الراديان والدرجات: π راديان = 180°