المتجه كمية لها مقدار واتجاه. يُستخدم في الفيزياء والرياضيات لتمثيل القوى والسرعة والإزاحة.
في بُعدين: v = (a, b) أو v = ai + bj
في ثلاثة أبعاد: v = (a, b, c) أو v = ai + bj + ck
|v| = √(a² + b²) في 2D أو √(a² + b² + c²) في 3D
الجمع: (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)
الطرح: (a,b) - (c,d) = (a-c, b-d)
الضرب في عدد: k(a,b) = (ka, kb)
u · v = a₁a₂ + b₁b₂ (في 2D)
u · v = |u| |v| cos θ
إذا u · v = 0 فالمتجهان متعامدان
مثال:
u = (3,4) و v = (2,-1) → u · v = 6-4 = 2
u × v ينتج متجهاً عمودياً على المستوى المحدد بـ u و v
|u × v| = |u| |v| sin θ (مساحة متوازي الأضلاع)
مثال:
الزاوية بين u=(1,0) و v=(0,1): u·v = 0 → cos θ = 0 → θ = 90°
إسقاط متجه على آخر: proj_v(u) = (u·v/|v|²) × v
مساحة المثلث: = ½|u × v|
المتجهان متوازيان إذا كان u × v = 0 (أو u = kv)
مثال تطبيقي:
قوة F = (3,4) N تؤثر على جسم يتحرك إزاحة d = (5,0) m
الشغل = F · d = 3×5 + 4×0 = 15 J
مثال متجه النقطة الوسطى:
A(1,3) و B(5,7) → نقطة المنتصف = ((1+5)/2, (3+7)/2) = (3, 5)
⚠ أخطاء شائعة:
| العملية | التعريف | الصيغة | النتيجة |
|---|---|---|---|
| الجمع | جمع المركبات المتناظرة | (a₁+b₁, a₂+b₂) | متجه |
| الطرح | طرح المركبات المتناظرة | (a₁−b₁, a₂−b₂) | متجه |
| الضرب بعدد | ضرب كل مركبة في العدد | k(a₁, a₂) = (ka₁, ka₂) | متجه |
| المقدار (الطول) | جذر مجموع المربعات | |v| = √(a₁²+a₂²) | عدد حقيقي |
| الضرب النقطي | مجموع حاصل ضرب المركبات | A·B = a₁b₁+a₂b₂ = |A||B|cosθ | عدد حقيقي |
| الضرب الاتجاهي (3D) | المحدد | A×B = |A||B|sinθ n̂ | متجه عمودي |
| متجه الوحدة | المتجه مقسوماً على مقداره | û = v/|v| | متجه مقداره 1 |
| الزاوية بين متجهين | من الضرب النقطي | cosθ = A·B/(|A||B|) | زاوية |
| الخاصية | الضرب النقطي (A·B) | الضرب الاتجاهي (A×B) |
|---|---|---|
| الناتج | عدد حقيقي (سلّمي) | متجه |
| التبديلية | A·B = B·A ✅ | A×B = −(B×A) ❌ |
| إذا كانا متعامدين | A·B = 0 (cos90° = 0) | |A×B| = |A||B| (الأقصى) |
| إذا كانا متوازيين | A·B = |A||B| (الأقصى) | A×B = 0 (sin0° = 0) |
| التوزيعية | A·(B+C) = A·B + A·C ✅ | A×(B+C) = A×B + A×C ✅ |
مثال محلول: المقدار والزاوية
A = (3, 4) و B = (1, 2). أوجد |A| والزاوية بين A و B.
الحل:
|A| = √(9+16) = √25 = 5
|B| = √(1+4) = √5
A·B = 3(1) + 4(2) = 3+8 = 11
cosθ = 11/(5×√5) = 11/(5√5) ≈ 0.983
θ ≈ 10.3°
مثال محلول: الضرب النقطي والعمودية
هل المتجهان A = (2, −3) و B = (3, 2) متعامدان؟
الحل: A·B = 2(3) + (−3)(2) = 6 − 6 = 0
بما أن A·B = 0 فالمتجهان متعامدان ✅
مثال محلول: متجه الوحدة
أوجد متجه الوحدة في اتجاه v = (6, 8)
الحل: |v| = √(36+64) = √100 = 10
û = (6/10, 8/10) = (0.6, 0.8)
مثال محلول: الإسقاط
أوجد إسقاط A = (4, 3) على B = (1, 0)
الحل: الإسقاط = (A·B/|B|²) × B
A·B = 4(1) + 3(0) = 4
|B|² = 1
الإسقاط = 4 × (1,0) = (4, 0)
⚠ أخطاء شائعة إضافية: