العمليات المعرَّفة
العمليات المعرَّفة
هذا النوع يبدو غريباً أول مرة، وهو في الحقيقة من أسهل أسئلة الكمي. السؤال يخترع رمزاً لا وجود له في الرياضيات — مثل ◊ أو ✳ — ويعطيك تعريفه في نفس السؤال. لا يوجد شيء تحفظه: كل ما تحتاجه مكتوب أمامك. المطلوب منك التعويض بانضباط فقط.
الرمز الجديد ليس له معنى سابق. عرّفه السؤال، فاستخدم تعريفه حرفياً ولا تفترض أنه يشبه الجمع أو الضرب.
الطريقة في ثلاث خطوات
- اقرأ التعريف وحدّد: أيّ عدد يقع مكان الطرف الأول، وأيّه مكان الطرف الثاني.
- عوّض بالترتيب نفسه المكتوب في التعريف.
- احسب بالترتيب المعتاد للعمليات.
إذا كانت س ◊ ص = ٢س + ص، فما قيمة ٣ ◊ ٤؟
- س تقابل ٣، وص تقابل ٤.
- نعوّض: ٢(٣) + ٤
- = ٦ + ٤ = ١٠
في المثال السابق، ٤ ◊ ٣ = ٢(٤) + ٣ = ١١، وليست ١٠. أكثر خطأ في هذا النوع هو عكس الترتيب.
العملية المعرَّفة ليست إبدالية في الغالب، أي أن تبديل مكان العددين يغيّر الناتج. لا يتساوى الناتجان إلا إذا كان التعريف يعامل الطرفين بالطريقة نفسها، مثل س ◊ ص = س + ص، أو س ◊ ص = س ص. أما ٢س + ص فيضاعف الطرف الأول ولا يضاعف الثاني، ولذلك يهمّ الترتيب.
العمليات المتداخلة
قد يُطلب منك حساب (٢ ◊ ٣) ◊ ٤. احسب ما بين القوسين أولاً، ثم ضع ناتجه في مكانه نفسه: إن كان القوس مكتوباً أولاً فناتجه هو الطرف الأول، وإن كان مكتوباً ثانياً فناتجه هو الطرف الثاني.
نكمل المثال بالتعريف السابق س ◊ ص = ٢س + ص: الداخلي ٢ ◊ ٣ = ٤ + ٣ = ٧، ثم ٧ ◊ ٤ = ١٤ + ٤ = ١٨.
وإن كُتبت العملية بلا أقواس هكذا: ٢ ◊ ٣ ◊ ٤، فاحسبها بالترتيب المكتوب: خذ أول طرفين معاً، ثم اعمل ناتجهما مع الطرف الذي يليه — أي ٢ ◊ ٣ = ٧، ثم ٧ ◊ ٤ = ١٨.
إذا كانت أ ✳ ب = أ٢ − ب، فما قيمة (٣ ✳ ١) ✳ ٢؟
- الداخلي: ٣ ✳ ١ = ٩ − ١ = ٨
- الخارجي: ٨ ✳ ٢ = ٦٤ − ٢ = ٦٢
وإذا كان الطرف عدداً سالباً فضعه بين قوسين قبل التربيع: (−٣) ✳ ٤ = (−٣)٢ − ٤ = ٩ − ٤ = ٥، وليست −٩ − ٤ = −١٣. وكذلك ٣ ✳ (−٤) = ٩ − (−٤) = ٩ + ٤ = ١٣، لأن طرح السالب جمع.
بالتعريف نفسه أ ✳ ب = أ٢ − ب، احسب ٢ ✳ (٣ ✳ ١). لاحظ أن القوس هنا مكتوب ثانياً.
- الداخلي هو نفسه: ٣ ✳ ١ = ٩ − ١ = ٨
- القوس مكتوب ثانياً، فالناتج ٨ يأخذ مكان ب لا مكان أ: ٢ ✳ ٨ = ٤ − ٨ = −٤
قارن: (٣ ✳ ١) ✳ ٢ = ٦٢، بينما ٢ ✳ (٣ ✳ ١) = −٤. العددان نفسهما، والجواب مختلف تماماً، لأن موضع القوس هو الذي يحدّد أي طرف يأخذ ناتجه.
إذا أعطاك الناتج وطلب المجهول
أحياناً يعطيك السؤال ناتج العملية ويطلب العدد المجهول. الطريقة نفسها: عوّض في التعريف كما هو، ثم حلّ المعادلة التي تخرج معك. وانتبه أولاً إلى مكان المجهول: هل هو الطرف الأول أم الثاني؟
إذا كانت س ◊ ص = ٢س + ص، وكان س ◊ ٢ = ١٤، فما قيمة س؟
- المجهول س في الطرف الأول، والعدد ٢ في الطرف الثاني.
- نعوّض في التعريف: ٢س + ٢ = ١٤
- ننقل ٢ إلى الطرف الآخر: ٢س = ١٢
- نقسم على ٢: س = ٦
بالتعريف نفسه س ◊ ص = ٢س + ص، وكان ٢ ◊ ص = ١٤، فما قيمة ص؟
- هنا العدد ٢ في الطرف الأول، والمجهول ص في الطرف الثاني.
- ضِعف ٢ يساوي ٤، فتصبح المعادلة: ٤ + ص = ١٤
- ص = ١٤ − ٤ = ١٠
لاحظ: الرمز واحد، والعددان ٢ و١٤ نفسهما، والجواب اختلف — ٦ في الأولى و١٠ في الثانية. السبب أن المجهول غيّر مكانه. وهذان الرقمان يوضعان معاً في الخيارات كثيراً، فاقرأ مكان المجهول قبل أن تحسب.
الرمز الجديد ليس شيئاً تفكّه أو تبسّطه. عامله كوصفة مكتوبة: ضع كل عدد في مكانه من التعريف، ثم احسب.
الخلاصة
- التعريف قالب جاهز: ضع كل عدد في مكانه واحسب، ولا تفترض أن الرمز يشبه الجمع أو الضرب.
- الترتيب يغيّر الناتج: ٣ ◊ ٤ = ١٠، بينما ٤ ◊ ٣ = ١١.
- في العمليات المتداخلة احسب القوس أولاً، ثم ضع ناتجه في المكان الذي كُتب فيه القوس.
- إذا أعطاك السؤال الناتج فعوّض في التعريف وحلّ المعادلة، وانتبه أولاً إلى مكان المجهول.
- ضع العدد السالب بين قوسين قبل التربيع: (−٣)٢ = ٩ وليست −٩.
تابع قراءة «العمليات المعرَّفة» مع البريميوم
مجموعة من الدروس التأسيسية متاحة مجاناً تجربةً للمنصة. باقي الدروس والاختبارات الكاملة تفتح مع الاشتراك.