المتطابقات الجبرية
المتطابقات الجبرية
المتطابقات هي أسرع طريق في كثير من أسئلة الكمي. سؤال يبدو أنه يحتاج آلة حاسبة يُحلّ في سطر واحد إذا رأيت المتطابقة فيه. وبما أن الاختبار بلا آلة حاسبة، فإن هذه المتطابقات الثلاث تحديداً توفّر عليك وقتاً حقيقياً.
أ٢ − ب٢ = (أ − ب)(أ + ب)
(أ + ب)٢ = أ٢ + ٢أب + ب٢
(أ − ب)٢ = أ٢ − ٢أب + ب٢
فرق المربعين — الأكثر نفعاً
متى رأيت فرقاً بين مربعين، حلّله فوراً. المتطابقة تختصر حساباً ثقيلاً إلى عملية ضرب واحدة سهلة.
ولا يلزم أن يكون المربّع مكتوباً بأُسّ ظاهر: ٢٥ هي ٥٢، و٤٩ هي ٧٢، و٤س٢ هي (٢س)٢. اعرف المربعات أولاً، ثم طبّق المتطابقة.
احسب ١٠١٢ − ٩٩٢ بدون آلة حاسبة.
- هذا فرق مربعين: (١٠١ − ٩٩)(١٠١ + ٩٩)
- = (٢)(٢٠٠)
- = ٤٠٠
حسابها مباشرة يعني ضرب عددين من ثلاث خانات مرتين. المتطابقة اختصرتها إلى عملية ضرب واحدة.
بسّط: (س٢ − ٢٥) ÷ (س − ٥)
- ٢٥ = ٥٢، فالبسط فرق مربعين: س٢ − ٥٢
- = (س − ٥)(س + ٥)
- نقسم على (س − ٥) فيُحذف العامل المشترك، ويبقى س + ٥
وبالفكرة نفسها: ٤س٢ − ٩ = (٢س)٢ − ٣٢ = (٢س − ٣)(٢س + ٣).
إذا كان أ + ب = ٧ و أ − ب = ٣، فما قيمة أ٢ − ب٢؟
- أ٢ − ب٢ = (أ − ب)(أ + ب)
- = (٣)(٧) = ٢١
العاملان معطيان في السؤال مباشرة، فلا حاجة لإيجاد أ ولا ب.
احسب ٤٩ × ٥١ ذهنياً.
- منتصف العددين ٥٠، وكلٌّ منهما يبعد عنه ١: ٤٩ = ٥٠ − ١، و ٥١ = ٥٠ + ١
- إذن ٤٩ × ٥١ = (٥٠ − ١)(٥٠ + ١) = ٥٠٢ − ١٢
- = ٢٥٠٠ − ١ = ٢٤٩٩
وبالطريقة نفسها: ٩٨ × ١٠٢ = ١٠٠٢ − ٢٢ = ١٠٠٠٠ − ٤ = ٩٩٩٦. القاعدة: ابحث عن منتصف العددين، فإن كان عدداً سهلاً فالضرب فرق مربعين. وهذه الحيلة مشروحة أيضاً في درس «الحساب الذهني والحسابات السريعة».
مربع المجموع والفرق
المتطابقتان متشابهتان، ولا يفرق بينهما إلا إشارة الحدّ الأوسط ٢أب. وأكثر ما تُستعملان في سؤال يعطيك مجموع عددين أو فرقهما مع حاصل ضربهما (أي أ × ب)، ثم يسألك عن مجموع مربّعيهما.
إذا كان أ + ب = ٧ و أب = ١٠، فما قيمة أ٢ + ب٢؟
- نعرف أن (أ + ب)٢ = أ٢ + ٢أب + ب٢
- إذن أ٢ + ب٢ = (أ + ب)٢ − ٢أب
- = ٤٩ − ٢(١٠) = ٤٩ − ٢٠ = ٢٩
لاحظ أننا لم نحتج معرفة أ ولا ب منفصلين إطلاقاً.
إذا كان أ − ب = ٤ و أب = ٣، فما قيمة أ٢ + ب٢؟
- نعرف أن (أ − ب)٢ = أ٢ − ٢أب + ب٢
- إذن أ٢ + ب٢ = (أ − ب)٢ + ٢أب
- = ١٦ + ٢(٣) = ١٦ + ٦ = ٢٢
الخطوات نفسها، والإشارة وحدها انقلبت.
مع المجموع اطرح ٢أب، ومع الفرق اجمع ٢أب. من يحفظ «اطرح دائماً» يخرج في المثال الثاني بـ ١٦ − ٦ = ١٠، وهو عدد جميل يضعه الاختبار في الخيارات ليصطاد به.
(أ + ب)٢ لا تساوي أ٢ + ب٢. الحدّ الأوسط ٢أب موجود دائماً. هذا أشهر خطأ في الجبر كله.
ابحث عن الشكل، لا عن الأرقام:
- شيء ناقص شيء، وكلاهما مربّع — ولو كان أحدهما حرفاً، ولو كان العددان متباعدين. ٨٥٢ − ١٥٢ = ٧٠ × ١٠٠ = ٧٠٠٠، والعددان بعيدان عن بعضهما.
- أُعطيت المجموع أو الفرق مع حاصل الضرب، وطُلب منك مجموع المربعات.
- ضرب عددين منتصفهما عدد سهل — مثل ٤٩ × ٥١، فحوّله إلى (المنتصف)٢ ناقص (البُعد عن المنتصف)٢.
تابع قراءة «المتطابقات الجبرية» مع البريميوم
مجموعة من الدروس التأسيسية متاحة مجاناً تجربةً للمنصة. باقي الدروس والاختبارات الكاملة تفتح مع الاشتراك.