الزوايا والمستقيمات المتوازية
الزوايا والمستقيمات المتوازية
درست المثلثات والدوائر، وبقيت العلاقات التي تربط الزوايا بعضها ببعض — وهي تُقرأ من الشكل مباشرة بلا معادلات. كثير من أسئلة الهندسة لا تطلب أكثر من الانتقال من زاوية معلومة إلى زاوية مجهولة في الشكل نفسه، ومن يتقن هذه العلاقات يحلّها في ثوانٍ.
العلاقات الأساسية
- متتامتان: مجموعهما ٩٠°
- متكاملتان: مجموعهما ١٨٠°
- متقابلتان بالرأس: متساويتان دائماً
- على استقامة واحدة: مجموع الزوايا ١٨٠°
- حول نقطة: مجموع الزوايا ٣٦٠°
إذا قطع مستقيمٌ مستقيمين متوازيين، فكل زاويتين إمّا متساويتان أو مجموعهما ١٨٠° — وليس هناك احتمال ثالث.
زوايا القاطع مع متوازيين
في الشكل التالي قاطع واحد مع مستقيمين متوازيين، فتنتج ثماني زوايا رقّمناها من ١ إلى ٨.
قبل الأسماء، اضبط ثلاث كلمات. الزاوية الداخلية تقع بين المتوازيين (٣، ٤، ٥، ٦)، والخارجية تقع خارجهما (١، ٢، ٧، ٨). وفي جهة واحدة تعني أن الزاويتين على يمين القاطع معاً أو على يساره معاً، ومتبادلة تعني أنهما على جهتين مختلفتين منه.
ثماني زوايا من قاطع واحد مع متوازيين. الأرقام الخضراء زوايا حادة والزرقاء منفرجة: كل حادّتين متساويتان، وكل منفرجتين متساويتان، وحادّة مع منفرجة مجموعهما ١٨٠°. والعلامتان (›) على المستقيمين هما إشارة التوازي.- المتبادلة داخلياً: داخليتان على جهتين مختلفتين من القاطع — متساويتان (٣ و٦، ٤ و٥)
- المتناظرة: في الموضع نفسه عند كل تقاطع — متساويتان (٢ و٦، ١ و٥)
- الداخلية في جهة واحدة: داخليتان على الجهة نفسها من القاطع — مجموعهما ١٨٠° (٣ و٥، ٤ و٦)
- المتبادلة خارجياً: خارجيتان على جهتين مختلفتين من القاطع — متساويتان (٢ و٧، ١ و٨)
- الخارجية في جهة واحدة: خارجيتان على الجهة نفسها من القاطع — مجموعهما ١٨٠° (١ و٧، ٢ و٨)
مستقيمان متوازيان يقطعهما قاطع. إحدى الزوايا الداخلية = ٧٠°. أوجد الزاوية المتبادلة معها داخلياً، والزاوية الداخلية معها في الجهة نفسها.
- المتبادلة داخلياً تساويها: ٧٠°
- الداخلية معها في الجهة نفسها مكمّلة لها: ١٨٠ − ٧٠ = ١١٠°
اشتغل على قاطع واحد في كل مرة. خذ القاطع وحده مع المتوازيين، فيصنع ثماني زوايا: الحادة منها كلها متساوية، والمنفرجة كلها متساوية، وأي حادة مع أي منفرجة مجموعهما ١٨٠°. الأسماء تفيدك في قراءة السؤال، لكن الحكم نفسه تأخذه من الشكل: حادّة مع حادّة متساويتان، وحادّة مع منفرجة مجموعهما ١٨٠°. وإذا كان القاطع عمودياً على المتوازيين فالزوايا الثماني كلها ٩٠° — لا حادّة ولا منفرجة.
وإن كان في الشكل أكثر من قاطع، فافصل كل قاطع وحده. زوايا قاطع لا تُقارن بزوايا قاطع آخر: حادّة من هذا القاطع قد لا تساوي حادّة من ذاك.
شبه منحرف قاعدتاه متوازيتان، وساقاه يقطعانهما. الزاوية عند طرف الساق الأولى على القاعدة السفلى ٧٠°، وعند طرف الساق الثانية ٦٠°. أوجد الزاويتين على القاعدة العليا.
- كل ساق قاطع مستقل. الساق الأولى وحدها: الداخليتان في جهة واحدة مجموعهما ١٨٠°، إذن ١٨٠ − ٧٠ = ١١٠°
- الساق الثانية وحدها: ١٨٠ − ٦٠ = ١٢٠°
- لاحظ الفخ: ٧٠° و٦٠° حادّتان في الشكل نفسه ولستا متساويتين، و٧٠ + ١٢٠ = ١٩٠ لا ١٨٠ — لأنهما من قاطعين مختلفين.
الشكل المنكسر والمثلث
النمطان التاليان من أكثر ما يتكرّر في قدرات، وفيهما لا تُقرأ الزاوية المطلوبة من قاعدة واحدة، بل تُبنى من زاويتين تأخذهما بالتبادل الداخلي.
المستقيم المساعد المتقطّع يقسم زاوية الانكسار إلى جزأين، كل جزء يساوي الزاوية التي تقابله عند أحد المتوازيين.مستقيمان متوازيان، وبينهما خط ينكسر عند نقطة واحدة كما في الشكل. الزاوية عند المستقيم العلوي ٣٥°، وعند المستقيم السفلي ٤٥°. أوجد زاوية الانكسار.
- نقطة الانكسار ليست على أحد المتوازيين، فلا تنفع فيها قاعدة مباشرة. ارسم منها مستقيماً موازياً للمستقيمين.
- الجزء العلوي من الخط قاطع للمستقيم الأعلى وللمساعد، والمتبادلتان داخلياً متساويتان، إذن الجزء الأعلى من الزاوية = ٣٥°
- الجزء السفلي بالطريقة نفسها مع المستقيم الأسفل: الجزء الأسفل = ٤٥°
- زاوية الانكسار هي مجموع الجزأين: ٣٥ + ٤٥ = ٨٠°
احفظ الطريقة لا الناتج: في كل شكل ينكسر بين متوازيين، ارسم المستقيم المساعد من نقطة الانكسار ثم اقرأ الزاوية جزءاً جزءاً.
مثلث قاعدته على أحد المستقيمين المتوازيين ورأسه على الآخر، وزاويتا قاعدته ٥٠° و٧٠°. أوجد زاوية الرأس.
- الضلع الأيمن قاطع للمتوازيين، فالمتبادلة داخلياً تنقل ٥٠° إلى الرأس. والضلع الأيسر ينقل ٧٠° بالطريقة نفسها.
- الزوايا الثلاث عند الرأس تقع على مستقيم واحد، ومجموع الزوايا على استقامة واحدة ١٨٠°.
- زاوية الرأس = ١٨٠ − (٥٠ + ٧٠) = ٦٠°
وهذه هي نفسها قاعدة درس المثلثات: مجموع زوايا المثلث ١٨٠°، وقد بنيناها هنا من زوايا القاطع مع المتوازيين.
هذه القواعد تعمل فقط إذا كان المستقيمان متوازيين. وإشارة التوازي هي العلامتان الصغيرتان (›) المرسومتان على المستقيمين في أشكال هذا الدرس. إن لم يذكر السؤال التوازي ولم تظهر هذه الإشارة، فلا تفترضه.
الخلاصة
- المتتامتان مجموعهما ٩٠°، والمتكاملتان مجموعهما ١٨٠°.
- المتقابلتان بالرأس متساويتان دائماً، والزوايا على استقامة واحدة مجموعها ١٨٠°، وحول نقطة ٣٦٠°.
- مع قاطع ومتوازيين: المتبادلتان — داخلياً أو خارجياً — والمتناظرتان متساويتان.
- ومعهما كذلك: الداخليتان في جهة واحدة مجموعهما ١٨٠°، وكذلك الخارجيتان في جهة واحدة.
- الشكل أسرع من الأسماء: كل الحادة متساوية، وكل المنفرجة متساوية، وحادّة مع منفرجة ١٨٠° — لكل قاطع وحده.
- إذا وقعت الزاوية بعيداً عن المتوازيين فارسم مستقيماً مساعداً موازياً يمرّ بها، وفي المثلث ارسمه من الرأس.
- ولا شيء من هذا يصحّ بغير توازٍ: إن لم يُذكر التوازي ولم تُرسم إشارته فلا تفترضه.
تابع قراءة «الزوايا والمستقيمات المتوازية» مع البريميوم
مجموعة من الدروس التأسيسية متاحة مجاناً تجربةً للمنصة. باقي الدروس والاختبارات الكاملة تفتح مع الاشتراك.