الهندسة التحليلية
الهندسة التحليلية
المستوى الإحداثي يحوّل الهندسة إلى حساب. ثلاث علاقات فقط تغطّي معظم ما يُسأل عنه في القدرات، وفكرة كل واحدة منها بسيطة: البُعد فيثاغورس، والمنتصف متوسط، والميل مقدار الصعود مقابل كل خطوة أفقية.
البُعد = الجذر التربيعي لـ [(س₂ − س₁)٢ + (ص₂ − ص₁)٢]
نقطة المنتصف = ( (س₁ + س₂) ÷ ٢ ، (ص₁ + ص₂) ÷ ٢ )
الميل = ص₂ − ص₁س₂ − س₁
الرقم الصغير يدلّ على رقم النقطة: النقطة الأولى هي (س₁، ص₁) والنقطة الثانية هي (س₂، ص₂). أنت من يختار أيّهما الأولى، لكن التزم باختيارك إلى نهاية الحل.
قانون البُعد هو فيثاغورس نفسه: الفرق الأفقي ضلع، والفرق الرأسي ضلع، والمسافة هي الوتر. ونقطة المنتصف هي ببساطة متوسط الإحداثيات.
أما الميل فيقيس مقدار الصعود مقابل كل خطوة أفقية واحدة: ميل ٣ يعني أن الخط يرتفع ٣ وحدات كلما تقدّمت وحدة واحدة إلى اليمين، وميل −٢ يعني أنه ينزل وحدتين.
أوجد البُعد بين النقطتين (١، ٢) و (٤، ٦).
- اجعل (١، ٢) هي النقطة الأولى، و(٤، ٦) هي النقطة الثانية.
- الفرق الأفقي: س₂ − س₁ = ٤ − ١ = ٣
- الفرق الرأسي: ص₂ − ص₁ = ٦ − ٢ = ٤
- ربّع كل فرق: ٣٢ = ٩ و ٤٢ = ١٦
- البُعد = جذر (٩ + ١٦) = جذر ٢٥ = ٥
لاحظ ٣ و٤ و٥ — المثلث الشهير. الاختبار يستخدمه كثيراً ليبقى الحساب ذهنياً، ويستخدم معه مضاعفاته ٦ و٨ و١٠، و٩ و١٢ و١٥، ورفيقه ٥ و١٢ و١٣.
نادراً ما يقول السؤال كلمة «البُعد» صراحةً. القانون نفسه هو المطلوب إذا سُئلت عن طول قطعة مستقيمة، أو عن نصف قطر دائرة مركزها نقطة وتمرّ بأخرى، أو عن طول ضلع مثلث مرسوم على المستوى الإحداثي.
كثيراً ما يعطيك السؤال نقطة المنتصف وطرفاً واحداً ويطلب الطرف الآخر. اضرب إحداثي المنتصف في ٢ ثم اطرح الطرف المعلوم:
- المنتصف (٣، ٥) وأحد الطرفين (١، ٢).
- س = ٢ × ٣ − ١ = ٥
- ص = ٢ × ٥ − ٢ = ٨
- الطرف الآخر = (٥، ٨)
أوجد ميل المستقيم المار بالنقطتين (−٢، ٥) و (٤، −٧).
- الفرق الرأسي: ص₂ − ص₁ = −٧ − ٥ = −١٢
- الفرق الأفقي: س₂ − س₁ = ٤ − (−٢) = ٤ + ٢ = ٦
- الميل = −١٢ ÷ ٦ = −٢
طرح عدد سالب يعني الجمع. هنا يضع الاختبار فخّه، فراجع الإشارة قبل القسمة.
قراءة الميل
- ميل موجب: الخط صاعد من اليسار إلى اليمين
- ميل سالب: الخط هابط من اليسار إلى اليمين
- ميل صفر: خط أفقي
- الميل غير معرَّف: خط رأسي (المقام = صفر)
المستقيمان المتوازيان لهما الميل نفسه.
وللحصول على ميل العمودي: اقلب الكسر واعكس الإشارة. مثال: ميل مستقيم = ٢ ÷ ٣، فميل العمودي عليه = −٣ ÷ ٢، وحاصل ضرب الميلين = −١.
الاستثناء الوحيد: الخط الأفقي والخط الرأسي متعامدان، ومع ذلك لا يصحّ ضرب ميليهما؛ لأن ميل الرأسي غير معرَّف. فإذا كان ميل المستقيم صفراً، فميل العمودي عليه غير معرَّف، والعكس صحيح.
حافظ على ترتيب النقطتين نفسه في البسط والمقام. إذا بدأت بـ ص₂ في الأعلى، فابدأ بـ س₂ في الأسفل. عكس واحد منهما فقط يقلب إشارة الميل.
جرّب على (١، ٤) و (٣، ٠): الميل = (٠ − ٤) ÷ (٣ − ١) = −٢. ولو جعلت (٣، ٠) هي الأولى: (٤ − ٠) ÷ (١ − ٣) = −٢، النتيجة نفسها. أما لو عكست البسط وحده فتحصل على ٢ موجبة، وهو الخطأ.
تابع قراءة «الهندسة التحليلية» مع البريميوم
مجموعة من الدروس التأسيسية متاحة مجاناً تجربةً للمنصة. باقي الدروس والاختبارات الكاملة تفتح مع الاشتراك.