الرسوم البيانية والاحتمالات
الرسوم البيانية والاحتمالات
هذا الدرس يجمع مهارتين تكسب بهما درجات سهلة في القسم الكمي: قراءة البيانات من الأعمدة والخطوط والجداول والقطاعات الدائرية بدقّة، ثم حساب الاحتمال بقانون واحد بسيط. الأولى تحتاج تركيزًا في القراءة، والثانية تحتاج قاعدة تحفظها وتطبّقها.
أولًا: قراءة الأعمدة والخطوط والجداول
قبل أن تحسب أي شيء، اقرأ العنوان ثم حدّد المحورين والوحدة، وانتبه جيدًا إلى مقياس الرسم.
قبل الحساب مباشرةً: اقرأ العنوان، وحدّد المحور الأفقي والرأسي والوحدة، وتأكّد من مقياس الرسم (هل القفزة ١٠ أم ٢٥ أم بالألف؟).
وتذكّر نوع كل رسم: الأعمدة تقارن فئات منفصلة، والخطي يبيّن التغيّر عبر الزمن، والجدول يعطي القيم الدقيقة مباشرةً.
ونفس الأرقام في جدول، وهنا تقرأ القيمة الدقيقة بلا تقدير:
| الشهر | المبيعات (بالألف ريال) |
|---|---|
| يناير | ٤٠ |
| فبراير | ٦٠ |
| مارس | ٥٠ |
من الجدول نفسه (بالألف ريال): كم زادت المبيعات من يناير إلى فبراير؟ وكم مجموع الأشهر الثلاثة؟
- الزيادة من يناير إلى فبراير = ٦٠ − ٤٠ = ٢٠ ألفًا.
- مجموع الربع = ٤٠ + ٦٠ + ٥٠ = ١٥٠ ألف ريال.
ثانيًا: القطاعات الدائرية
الدائرة الكاملة تمثّل الكل، ولها لغتان تصفان الشيء نفسه: الزوايا ومجموعها ٣٦٠ درجة، والنِّسَب ومجموعها ١٠٠٪.
مجموع زوايا القطاعات = ٣٦٠°، ومجموع نِسَبها = ١٠٠٪.
قطاع زاويته ٩٠°، ومساحة الدائرة ٨٠ سم٢.
- النسبة = (٩٠ ÷ ٣٦٠) × ١٠٠ = ٢٥٪.
- مساحة القطاع = (٩٠ ÷ ٣٦٠) × ٨٠ = ٢٠ سم٢.
قطاع يمثّل ٢٥٪ من ٢٠٠ طالب.
- عدد طلابه = ٢٥٪ × ٢٠٠ = ٥٠ طالبًا.
- زاويته = (٢٥ ÷ ١٠٠) × ٣٦٠ = ٩٠°.
في القطاع الدائري انتقل دائمًا بين الزاوية والنسبة والعدد عبر كسر واحد: الزاوية ÷ ٣٦٠ = النسبة ÷ ١٠٠ = الجزء ÷ الكل، واحفظ هاتين الحالتين الجاهزتين: ٩٠° = ربع = ٢٥٪، و١٨٠° = نصف = ٥٠٪.
ثالثًا: الاحتمال الأساسي
احتمال الحدث = عدد النتائج المرغوبة ÷ عدد نتائج فضاء العينة (المرغوب ÷ الكل)، وقيمته دائمًا بين ٠ (مستحيل) و١ (مؤكّد).
فضاء العينة اسم لشيء بسيط: كل النتائج الممكنة. في كيس فيه ٨ كرات، فضاء العينة ٨؛ وفي رمي نرد واحد، فضاء العينة ٦.
كيس فيه ٣ كرات حمراء و٥ زرقاء (المجموع ٨). احتمال سحب كرة حمراء = ٣ ÷ ٨ = ٣٨.
رابعًا: حادثان معًا أو واحد بعد الآخر — متى تضرب؟
الحدثان مستقلّان إذا كانت نتيجة الأول لا تغيّر فرص الثاني، مثل رمي العملة مرّتين. وإذا وقع حدثان معًا أو واحد ثم الآخر، فاحتمالهما = احتمال الأول × احتمال الثاني. الكلمة المفتاحية «و» أو «ثم» ← اضرب.
لكن اسأل قبل الضرب سؤالًا واحدًا: هل تغيّر الوضع بعد الخطوة الأولى؟ إن سُحبت كرة ولم تُرجَع إلى الكيس، فالكيس صار أصغر، فانقص ١ من البسط والمقام في السحبة الثانية.
رمي قطعة نقود مرّتين، ما احتمال ظهور «صورة» في المرّتين؟
- احتمال الصورة في الرمية الواحدة = ١٢.
- الرميتان مستقلّتان، وكلمة «و» تعني الضرب: (١٢) × (١٢) = ١٤.
الكيس نفسه: ٣ كرات حمراء و٥ زرقاء (المجموع ٨). سُحبت كرتان، الواحدة بعد الأخرى، دون إرجاع الأولى. ما احتمال أن تكونا حمراوين؟
- السحبة الأولى: ٣ حمراء من ٨ كرات = ٣٨.
- خرجت كرة حمراء ولم تعد، فبقي ٧ كرات فيها ٢ حمراء فقط: ٢٧. لاحظ أن البسط والمقام نقصا معًا.
- الاحتمال = ٣٨ × ٢٧ = ٣٢٨.
- ولو أرجعنا الكرة الأولى إلى الكيس لبقي الكيس كما هو: ٣٨ × ٣٨ = ٩٦٤.
- إهمال مقياس الرسم وقراءة العمود كأن قفزته ١ بينما هي ١٠ أو بالألف.
- وضع جزء من الكل في المقام بدل الكل كلّه: في كيس فيه ٣ حمراء و٥ زرقاء، احتمال الحمراء ٣/٨ لا ٣/٥ — المقام هو عدد الكرات كلها.
- الجمع بدل الضرب في «و/ثم» للحوادث المستقلة.
خامسًا: فضاء العينة ورمي النرد مرتين
عند رمي نرد مرتين، أو رمي نردين معًا، يكون عدد النواتج الممكنة ٦ × ٦ = ٣٦ ناتجًا. وهذا هو المقام في احتمالات رمي نردين تحديدًا — أما النرد الواحد فمقامه ٦، وثلاثة أنراد فمقامها ٢١٦.
والنواتج هنا مرتّبة: الناتج (١ ، ٢) غير الناتج (٢ ، ١)، ولهذا كان العدد ٣٦ لا ٢١.
عند رمي حجر نرد مرتين، ما احتمال ظهور عددين مجموعهما ٥؟
- فضاء العينة = ٦ × ٦ = ٣٦ ناتجًا.
- المجموع ٥ يتحقق بأربعة نواتج: (١ ، ٤) و(٤ ، ١) و(٢ ، ٣) و(٣ ، ٢). عُدّ الترتيبين معًا، فالنرد الأول غير النرد الثاني.
- الاحتمال = ٤/٣٦ = ١/٩.
عدد طرق تحقيق المجموع في نردين يتصاعد حتى ٧ ثم يتناقص: المجموع ٢ له طريقة واحدة، و٣ له طريقتان لأن (١ ، ٢) و(٢ ، ١) ناتجان مختلفان، حتى ٧ وله ٦ طرق وهو الأكثر احتمالًا، ثم ٨ وله ٥ طرق، وصولًا إلى ١٢ وله طريقة واحدة.
سادسًا: قاعدتا «أو» والمتمم
- «أو» للحوادث المتنافية: اجمع. إذا استحال وقوعهما معًا فاحتمال أحدهما = مجموع الاحتمالين.
- المتمم: احتمال ألّا تقع الحادثة = ١ − احتمال وقوعها.
عند رمي نرد واحد، ما احتمال ظهور ٢ أو ٥؟
- لا يمكن أن يظهر الوجهان في الرمية نفسها، فالحادثتان متنافيتان ← اجمع: ١/٦ + ١/٦ = ٢/٦ = ١/٣.
- لكن انتبه: «عدد زوجي» و«عدد أكبر من ٣» ليستا متنافيتين، لأن ٤ و٦ يحققان الشرطين معًا. هنا لا تجمع مباشرة، بل عُدّ الحالات المختلفة: ٢ و٤ و٥ و٦ ← ٤/٦ = ٢/٣.
عبارة «على الأقل واحدة» تُحَل بالمتمم دائمًا: احسب احتمال ألّا تقع ولا مرة ثم اطرحه من ١، فهو أسرع من جمع الحالات كلها. مثال: عند رمي عملة مرتين، احتمال ظهور صورة على الأقل مرة = ١ − ١/٤ = ٣/٤.
الخلاصة
- قبل أي حساب: اقرأ العنوان والمحورين والوحدة وانتبه لمقياس الرسم.
- الأعمدة تقارن فئات، والخطي يبيّن التغيّر، والجدول يعطي قيمًا دقيقة.
- القطاع الدائري: الزاوية ÷ ٣٦٠ = النسبة ÷ ١٠٠ = الجزء ÷ الكل — ثلاثة أسماء لكسر واحد (مجموع الزوايا ٣٦٠° ومجموع النسب ١٠٠٪).
- الاحتمال = المرغوب ÷ الكل، وقيمته بين ٠ و١.
- حادثان مستقلّان بكلمة «و/ثم» ← اضرب الاحتمالين، وحادثتان متنافيتان بكلمة «أو» ← اجمع الاحتمالين.
- رمي نردين: فضاء العينة ٣٦؛ و«على الأقل» تُحَل بالمتمم ١ − احتمال العكس.
تابع قراءة «الرسوم البيانية والاحتمالات» مع البريميوم
مجموعة من الدروس التأسيسية متاحة مجاناً تجربةً للمنصة. باقي الدروس والاختبارات الكاملة تفتح مع الاشتراك.