المتوسط والوسيط والمنوال

أربعة مقاييس صغيرة تفتح لك عائلة كاملة من أسئلة القدرات: المتوسط يخبرك بنصيب كل قيمة لو وُزِّع المجموع بالتساوي، والوسيط بقيمة المنتصف، والمنوال بالأكثر تكرارًا، والمدى باتساع البيانات. متى عرفت قانون كلٍّ منها حللت السؤال في ثوانٍ. وفي آخر الدرس نضيف الأوساط الهندسية، وهي أوساط تُحسب بالضرب لا بالجمع.

القيم ٤، ٦، ٦، ٨، ١٢، ١٦ على خط أعداد بمقياس منتظم: المنوال عند التكرار، والوسيط في المنتصف، والمدى يقيس الاتساع. ولاحظ أن المتوسط (٨٫٧ تقريبًا) أكبر من الوسيط (٧) لأن القيمة ١٦ سحبته نحوها.

أولًا: المتوسط الحسابي (المعدّل)

المتوسط يخبرك بنصيب كل قيمة لو وُزّع المجموع بالتساوي على الجميع.

المتوسط = مجموع القيم ÷ عددها

قاعدة إذا كان الفرق بين كل عددين متجاورين ثابتًا (مثل ٤، ٥، ٦، ٧ والفرق ١، أو ٣، ٧، ١١، ١٥ والفرق ٤) فالمتوسط = (الأصغر + الأكبر) ÷ ٢ مباشرةً دون جمع الكل.

مثال محلول درجات طالب في ٥ اختبارات: ٨٠، ٩٠، ٧٥، ٨٥، ٩٥.

اجمع القيم: ٨٠ + ٩٠ + ٧٥ + ٨٥ + ٩٥ = ٤٢٥.
اقسم على العدد: ٤٢٥ ÷ ٥ = ٨٥.

حيلة سريعة متوسط ١١، ١٢، ١٣، ١٤، ١٥ = (١١ + ١٥) ÷ ٢ = ١٣ دون جمع. والحيلة نفسها تعمل مع ٢، ٤، ٦، ٨، ١٠ لأن الفرق ثابت: (٢ + ١٠) ÷ ٢ = ٦.

ثانيًا: الوسيط

الوسيط هو القيمة الواقعة في المنتصف، وهو أصدق من المتوسط حين توجد قيمة شاذة، أي رقم بعيد جدًا عن بقية الأرقام (كبير جدًا أو صغير جدًا).

قاعدة

رتّب الأرقام أولًا من الأصغر إلى الأكبر (الخطوة التي ينساها أكثر الطلاب).
إن كان العدد فرديًا فالوسيط هو القيمة الوسطى.
إن كان العدد زوجيًا فالوسيط = متوسط القيمتين الوسطيتين.

مثال محلول الأرقام: ٧، ٣، ٩، ٢، ٥. بعد الترتيب: ٢، ٣، ٥، ٧، ٩ ← الوسيط = ٥.
ولو كانت: ٢، ٣، ٥، ٧، ٩، ١١ (ستة أرقام) فالوسيط = (٥ + ٧) ÷ ٢ = ٦.

مثال محلول رواتب خمسة موظفين: ٤٠٠٠، ٤٢٠٠، ٤٥٠٠، ٤٨٠٠، ٦٠٠٠٠.

المتوسط = ٧٧٥٠٠ ÷ ٥ = ١٥٥٠٠، وهو أكبر من أربعة رواتب من الخمسة.
الوسيط بعد الترتيب = ٤٥٠٠.

الراتب ٦٠٠٠٠ قيمة شاذة سحبت المتوسط بعيدًا، فالوسيط هنا هو الذي يصف الراتب المعتاد.

ثالثًا: المنوال

قاعدة المنوال هو القيمة الأكثر تكرارًا. وقد لا يوجد منوال (إن لم يتكرر شيء)، وقد يوجد أكثر من منوال.

مثال محلول القيم: ٤، ٦، ٦، ٨، ٦، ٩، ٨ ← الرقم ٦ تكرر ثلاث مرات ← المنوال = ٦.

رابعًا: المدى

المدى = أكبر قيمة − أصغر قيمة

ملاحظة المدى مقياس تشتت يبيّن اتساع البيانات لا مركزها؛ فهو لا يخبرك عن القيمة المعتادة بل عن مدى تباعد الأرقام.

مثال محلول القيم: ١٢، ٤، ١٩، ٧، ١٥ ← المدى = ١٩ − ٤ = ١٥.
ولو كانت القيم: (−٥)، ٣، ٠، ٧ فالمدى = ٧ − (−٥) = ١٢؛ انتبه للإشارة، فطرح السالب جمع.

قاعدة إذا أضفت العدد نفسه إلى كل قيمة فالمتوسط والوسيط والمنوال تزيد بالمقدار نفسه، أما المدى فلا يتغيّر لأن الفرق بين الأكبر والأصغر بقي كما هو.

مقارنة سريعة بين المقاييس الأربعة

المقياس	ماذا يقيس	القانون
المتوسط	نصيب كل قيمة لو وُزِّع المجموع بالتساوي	المجموع ÷ العدد
الوسيط	قيمة المنتصف	رتّب ثم خذ الأوسط
المنوال	الأكثر تكرارًا	أكثر قيمة ورودًا
المدى	اتساع البيانات	الأكبر − الأصغر

خامسًا: إيجاد قيمة ناقصة من المتوسط

سؤال متكرر جدًا: يُعطى المتوسط ومعظم القيم، ويُطلب الرقم المفقود.

القيمة الناقصة = (المتوسط × عدد القيم) − مجموع القيم المعلومة

مثال محلول متوسط ٤ أرقام = ٢٠، ثلاثة منها: ١٥، ٢٢، ١٨، فما الرابع؟

المجموع الكلي = ٢٠ × ٤ = ٨٠.
مجموع المعلوم = ١٥ + ٢٢ + ١٨ = ٥٥.
الناقص = ٨٠ − ٥٥ = ٢٥.

مثال محلول متوسط ٥ أعداد ١٢، ثم أُضيف إليها عدد فصار المتوسط ١٣، فما العدد المضاف؟

المجموع بعد الإضافة = ١٣ × ٦ = ٧٨.
المجموع قبلها = ١٢ × ٥ = ٦٠.
العدد المضاف = ٧٨ − ٦٠ = ١٨.

حيلة سريعة عند دمج مجموعتين، اجمع مجاميعها ثم اقسم على مجموع أعدادها: مثلًا متوسط ٣ أعداد = ١٠ ومتوسط عددين = ١٥، فالمتوسط الكلي = (٣×١٠ + ٢×١٥) ÷ ٥ = (٣٠ + ٣٠) ÷ ٥ = ١٢ — ولا تجمع المتوسطين مباشرة.

أخطاء شائعة لا تحسب الوسيط أو المدى قبل ترتيب الأرقام. ولا تخلط بين المتوسط والوسيط عند وجود قيمة شاذة. وعند دمج متوسطين لمجموعتين مختلفتي العدد، لا تأخذ متوسط المتوسطين. ولا تستخدم (الأصغر + الأكبر) ÷ ٢ إذا لم يكن الفرق بين الأعداد ثابتًا: في ٢، ٣، ٤، ١٠٠ تعطيك ٥١ والمتوسط الحقيقي ٢٧٫٢٥.

سادسًا: الأوساط الهندسية

الوسط الحسابي يقوم على الجمع، أما الوسط الهندسي فيقوم على الضرب. عندك عددان في الطرفين، وتريد أعدادًا بينهما نصل إليها بالضرب في العدد نفسه كل خطوة. هذا العدد الثابت نسميه ر، ور = أي حدّ ÷ الحدّ الذي قبله.

لا تخلط «متتالية» تعني أعدادًا متعاقبة مثل ٤، ٥، ٦. أما «متتابعة هندسية» فكل حدّ فيها = الحدّ الذي قبله × ر، مثل ٢، ٦، ١٨.

وسط هندسي واحد بين أ و ب: و = √(أ × ب)

قاعدة لإدخال عددٍ من الأوساط بين طرفين: إذا أدخلنا ك وسطًا صار عدد الحدود ك + ٢، وعدد القفزات من الطرف الأول إلى الأخير ك + ١، فنحل ر^ك+١ = الطرف الأخير ÷ الطرف الأول.

مثال محلول أوجد الوسطين الهندسيين بين ١ و ٢٧.

الحدود أربعة: ١ ثم وسطان ثم ٢٧، فعدد القفزات ٣.
ر^٣ = ٢٧ ÷ ١ = ٢٧، ومنه ر = ٣.
الحد الثاني = ١ × ٣ = ٣، والثالث = ٣ × ٣ = ٩.
الوسطان هما ٣ و ٩.

حيلة سريعة تحقّق بالضرب: في أي متتابعة هندسية، إذا أخذت حدّين يبعدان المسافة نفسها عن الطرفين فحاصل ضربهما = حاصل ضرب الطرفين. وهنا الحدود أربعة فقط، فالوسطان هما هذان الحدّان: ١ × ٢٧ = ٣ × ٩ = ٢٧. وفي ٢، ٤، ٨، ١٦، ٣٢ نأخذ ٤ و ١٦ لا ٨ و ١٦: ٢ × ٣٢ = ٤ × ١٦ = ٦٤، وإن كان عدد الحدود فرديًا فمربّع الحدّ الأوسط يعطي العدد نفسه: ٨^٢ = ٦٤.

الخلاصة

المتوسط = المجموع ÷ العدد؛ وإذا كان الفرق بين كل عددين متجاورين ثابتًا = (الأصغر + الأكبر) ÷ ٢.
الوسيط = قيمة المنتصف بعد الترتيب (أو متوسط الوسطيين إن كان العدد زوجيًا).
المنوال = الأكثر تكرارًا؛ قد ينعدم أو يتعدد.
المدى = الأكبر − الأصغر، وهو مقياس تشتت.
المفتاح: المجموع = المتوسط × العدد — يحلّ القيمة الناقصة والعدد المضاف معًا.
إذا زدت كل قيمة بالمقدار نفسه زاد المتوسط والوسيط والمنوال بالمقدار نفسه، وبقي المدى كما هو.
الأوساط الهندسية: ر^ك+١ = الطرف الأخير ÷ الطرف الأول، حيث ك عدد الأوساط، و ر النسبة الثابتة (أي حدّ ÷ الحدّ الذي قبله).

تابع قراءة «المتوسط والوسيط والمنوال» مع البريميوم

مجموعة من الدروس التأسيسية متاحة مجاناً تجربةً للمنصة. باقي الدروس والاختبارات الكاملة تفتح مع الاشتراك.