مبدأ العد والاحتمالات
مبدأ العد والاحتمالات
هذا الموضوع يجيب عن سؤالين مرتبطين: «بكم طريقة يمكن أن يحدث الأمر؟» و«ما احتمال حدوثه؟». والمفتاح كله يقوم على أن تعرف متى تضرب ومتى تجمع، ومتى يهمّ الترتيب ومتى لا يهمّ. أتقن هذه الفروق وستحلّ أغلب أسئلة العدّ في ثوانٍ.
أولًا: مبدأ العدّ الأساسي
إذا تمّت العملية على مراحل متتابعة، فعدد الطرق الكلي هو حاصل ضرب خيارات كل مرحلة. والدليل اللغوي بسيط: الكلمة «و» تعني اضرب، والكلمة «أو» (بدائل منفصلة) تعني اجمع.
مراحل متتابعة مربوطة بـ«و» ← اضرب عدد خيارات كل مرحلة.
بدائل مربوطة بـ«أو» ← اجمع عدد خيارات كل بديل، بشرط ألّا يمكن اختيار البديلين معًا.
لديك ٣ قمصان و٢ بنطال، فكم طقمًا يمكن تكوينه؟
- الاختيار على مرحلتين مربوطتين بـ«و»: قميص و بنطال.
- نضرب: ٣ × ٢ = ٦ أطقم.
مطعم فيه ٣ أنواع عصير و٤ أنواع حلوى:
- «عصير و حلوى» معًا ← مرحلتان ← اضرب: ٣ × ٤ = ١٢ طريقة.
- «عصير أو حلوى» صنفًا واحدًا فقط ← بديلان لا يجتمعان ← اجمع: ٣ + ٤ = ٧ طرق.
الأرقام نفسها، والكلمة الرابطة وحدها هي التي غيّرت العملية.
يسافر أحمد من الرياض إلى جدة برًّا بـ٣ طرق أو جوًّا برحلتين، ثم يتنقّل داخل جدة بـ٤ وسائل. بكم طريقة يتمّ ذلك؟
- الوصول: برًّا أو جوًّا ← بديلان ← اجمع: ٣ + ٢ = ٥ طرق.
- ثم التنقّل داخل جدة ← مرحلة تالية أي «و» ← اضرب: ٥ × ٤ = ٢٠ طريقة.
كم عددًا من ٣ خانات يمكن تكوينه من الأرقام (٠، ١، ٢، ٣، ٤) دون تكرار؟
- ابدأ من الخانة صاحبة الشرط: خانة المئات لا تقبل الصفر (وإلا صار العدد من خانتين) ← ٤ خيارات.
- ثم خانة العشرات من الأرقام الأربعة الباقية، وقد عاد الصفر متاحًا ← ٤ خيارات.
- ثم خانة الآحاد من الأرقام الثلاثة الباقية ← ٣ خيارات.
- نضرب: ٤ × ٤ × ٣ = ٤٨ عددًا.
ولو طُلب العدد زوجيًّا لكانت خانة الآحاد هي صاحبة الشرط، فنبدأ منها ثم نكمل بقية الخانات.
في أسئلة تكوين الأعداد ابدأ العدّ دائمًا من الخانة صاحبة الشرط — خانة لا تقبل الصفر، أو خانة يجب أن تكون زوجية — لا من أول خانة تراها. فلو بدأت من غيرها اختلّ عدد الخيارات المتبقية.
ثانيًا: قانون الأبواب (الدخول والخروج)
غرفة لها ن بابًا، بكم طريقة تدخل ثم تخرج؟ يعتمد الجواب على شرط الباب — وهو تطبيق مباشر لمبدأ الضرب.
عدد الطرق = ن × ن = ن٢
عدد الطرق = ن × (ن − ١)
غرفة بها ٤ أبواب:
• الدخول والخروج بأي باب = ٤٢ = ١٦ طريقة.
• الخروج من باب مختلف = ٤ × ٣ = ١٢ طريقة.
ثالثًا: التباديل — حين يهمّ الترتيب
عدد طرق ترتيب ر عنصرًا مختارًا من ن حين يهمّ الترتيب هو التباديل نلر.
اختيار رئيس ونائب من ٥ أشخاص (المنصبان مختلفان فالترتيب مهم) = ٥ × ٤ = ٢٠ طريقة.
وترتيب ٤ كتب على رفّ = ٤! = ٤ × ٣ × ٢ × ١ = ٢٤ طريقة.
رابعًا: التوافيق — حين لا يهمّ الترتيب
عند اختيار ر من ن دون أهمية للترتيب نستخدم التوافيق.
اختيار لجنة من ٣ أشخاص من ٥:
- «لجنة» ← الترتيب لا يهمّ ← توافيق.
- نقر = (٥ × ٤ × ٣) ÷ (٣ × ٢ × ١)
- = ٦٠ ÷ ٦ = ١٠ طرق.
لا تحكم بكلمة واحدة؛ فكلمة «اختيار» تأتي في الحالتين. الاختبار الحاسم: بدّل ترتيب المختارين — هل تغيّرت النتيجة؟ نعم ← تباديل، لا ← توافيق.
• رئيس ونائب من ٥: لو بدّلناهما تبدّل المنصبان ← تباديل ← ٥ × ٤ = ٢٠.
• لجنة من ٣ من ٥: لو بدّلنا ترتيبهم بقيت اللجنة نفسها ← توافيق ← ١٠.
وكلمة «جلوس» وحدها لا تكفي، فانظر إلى الشكل: جلوس في صفّ ← ن!؛ جلوس حول طاولة دائرية ← (ن − ١)!؛ اختيار مقاعد محدّدة بأسماء ← تباديل.
خامسًا: الترتيب الدائري
عند ترتيب ن شخصًا حول طاولة دائرية نثبّت واحدًا مرجعًا ونرتّب الباقي حوله ← عدد الطرق = (ن − ١)!
جلوس ٥ أشخاص حول طاولة دائرية = (٥ − ١)! = ٤! = ٢٤ طريقة.
سادسًا: المصافحات وتبادل الهدايا
هذان الموقفان ليسا قانونين جديدين تحفظهما، بل هما السؤال نفسه الذي تعلّمته قبل قليل: هل يهمّ الترتيب؟ أي: هل يتغيّر شيء لو بدّلنا الشخصين؟
| الموقف | هل يهمّ الترتيب؟ | القانون |
|---|---|---|
| المصافحات بين ن شخصًا | لا — مصافحة أحمد لخالد هي نفسها مصافحة خالد لأحمد ← توافيق | نق٢ = ن × (ن − ١) ÷ ٢ |
| تبادل الهدايا بين ن شخصًا | نعم — هدية أحمد لخالد غير هدية خالد لأحمد ← تباديل | نل٢ = ن × (ن − ١) |
| الخطوط الواصلة بين ن نقطة | لا — الخطّ بين نقطتين واحد ← توافيق | نق٢ = ن × (ن − ١) ÷ ٢ |
مجموعة من ٦ أشخاص:
• المصافحة بين اثنين واحدة ← توافيق ← ٦ق٢ = (٦ × ٥) ÷ ٢ = ١٥ مصافحة.
• وللهدية مُهدٍ ومُهدى إليه ← تباديل ← ٦ل٢ = ٦ × ٥ = ٣٠ هدية.
ولو سُئلت عن عدد الخطوط الواصلة بين ٦ نقاط لا يقع ثلاث منها على استقامة واحدة، فالجواب هو نفسه ١٥ خطًّا — السؤال ذاته بلباس هندسي.
سابعًا: الاحتمال الأساسي
بعد أن أتقنّا العدّ، يصبح الاحتمال سهلًا: هو نسبة الحالات المُواتية — أي الحالات التي يتحقّق فيها المطلوب — إلى جميع الحالات الممكنة، وقيمته دائمًا بين ٠ و١. ومجموعة كل الحالات الممكنة تسمّى فضاء العينة، وعدد حالاتها تحسبه بقوانين العدّ التي مضت.
وناتج هذه القسمة نكتبه كسرًا؛ فـ«١ ÷ ٦» و١٦ كتابتان لقيمة واحدة.
هذه القسمة تصحّ بشرط أن تكون الحالات الممكنة متساوية في فرصة الحدوث. فإن عددت الحالات بطريقة تجعل بعضها أسهل حدوثًا من بعض، خرج الجواب خطأ. والطريقة المأمونة: احسب عدد الحالات الممكنة بمبدأ الضرب (عدد خيارات كل مرحلة مضروبة في بعضها).
كيس فيه ٣ كرات حمراء و٢ زرقاء، ما احتمال سحب كرة حمراء؟
- الحالات المُواتية = ٣ (كرات حمراء).
- الحالات الممكنة كلها = ٣ + ٢ = ٥.
- الاحتمال = ٣٥.
نرمي قطعتي نقود معًا، فما احتمال ظهور صورة واحدة فقط؟
- طالب يعدّ الحالات ثلاثًا: صورتان، أو صورة وكتابة، أو كتابتان ← فيقول ١ من ٣. وهذا خطأ، لأن هذه الحالات الثلاث ليست متساوية في فرصة الحدوث.
- الصحيح بمبدأ العدّ: لكل قطعة وجهان ← عدد الحالات الممكنة = ٢ × ٢ = ٤، وهي: صص، صك، كص، كك.
- «صورة واحدة» تتحقّق بحالتين (صك، كص) ← الاحتمال = ٢٤ = ١٢.
ثامنًا: احتمال حوادث متتابعة
إذا وقع أمران واحدًا بعد الآخر وأردت احتمال حدوثهما معًا، فاضرب الاحتمالين. وهو مبدأ الضرب نفسه، لكن بالاحتمالات بدل عدد الطرق.
حادثتان مستقلّتان (نتيجة الأولى لا تؤثّر في الثانية) ← احتمال وقوعهما معًا = احتمال الأولى × احتمال الثانية.
وإن أثّرت الأولى في الثانية (سحب دون إرجاع) فاحسب احتمال الثانية بعد أن نقص العدد.
نرمي قطعة نقود ٣ مرات، فما احتمال ظهور الصورة في المرات الثلاث؟
- الرميات مستقلّة، واحتمال الصورة في كل رمية = ١ من ٢.
- نضرب الاحتمالات: ١٢ × ١٢ × ١٢ = ١٨.
- والعدّ يعطي الجواب نفسه: الحالات الممكنة = ٢ × ٢ × ٢ = ٨، والمُواتية حالة واحدة.
كيس فيه ٣ كرات حمراء و٢ زرقاء، ونسحب كرتين. ما احتمال أن تكونا حمراوين؟
- بإرجاع (نعيد الكرة قبل السحب الثاني): الكيس لم يتغيّر ← ٣ من ٥ ثم ٣ من ٥ ← ٩٢٥.
- دون إرجاع: بقيت ٢ حمراء من ٤ كرات ← ٣ من ٥ ثم ٢ من ٤ ← ٣١٠.
و«دون إرجاع» هي الأكثر ورودًا في الاختبار، والخطأ الشائع فيها نسيان أن العدد نقص بعد السحب الأول.
تاسعًا: احتمال العكس
أحيانًا يكون عدّ الحالات المُواتية طويلًا، بينما عدّ عكسها سطر واحد. والحدث إمّا أن يقع وإمّا ألّا يقع، فمجموع الاحتمالين = ١.
احتمال ألّا يقع الحدث = ١ − احتمال وقوعه.
إذا رأيت في السؤال «على الأقل» أو «ليس» أو «ألّا»، فاحسب احتمال العكس واطرحه من ١.
نرمي قطعة نقود ٣ مرات، فما احتمال ظهور الكتابة مرة واحدة على الأقل؟
- عكس «الكتابة مرة واحدة على الأقل» هو «ألّا تظهر الكتابة أبدًا»، أي أن تظهر الصورة في الرميات الثلاث.
- وقد حسبنا ذلك قبل قليل: احتمال الصورة ثلاث مرات = ١٨.
- إذًا المطلوب = ١ − ١٨ = ٧٨.
ولو عددنا الحالات المُواتية مباشرة لأحصينا ٧ حالات من ٨؛ والعكس اختصرها إلى طرحة واحدة.
• خلط التباديل بالتوافيق: تذكّر أن «اللجنة» توافيق و«الترتيب» تباديل.
• نسيان قسمة المصافحات على ٢، أو خطأ قسمة الهدايا على ٢ (الهدايا لا تُقسم لأن لكل طرف اتجاهه).
• استعمال «اجمع» في مسألة مراحلها مربوطة بـ«و» — المراحل المتتابعة تُضرب لا تُجمع.
• عدّ حالات غير متساوية الفرص في الاحتمال: «صورة وكتابة» عند رمي قطعتين تحدث بطريقتين، فالحالات ٤ لا ٣.
• نسيان أن الكيس ينقص في السحب «دون إرجاع».
الخلاصة
- «و» ← اضرب، «أو» ← اجمع بشرط ألّا يجتمع البديلان؛ والمراحل المتتابعة حاصل ضرب خياراتها.
- في تكوين الأعداد ابدأ من الخانة صاحبة الشرط (لا تقبل الصفر، أو يجب أن تكون زوجية).
- الأبواب: الباب نفسه ن٢، وباب مختلف ن × (ن − ١).
- يهمّ الترتيب ← تباديل نلر؛ لا يهمّ الترتيب ← توافيق نقر = نلر ÷ ر!.
- الترتيب الدائري = (ن − ١)!.
- المصافحات ← توافيق ← ن(ن − ١) ÷ ٢، والهدايا ← تباديل ← ن(ن − ١).
- الاحتمال = الحالات المُواتية ÷ كل الحالات الممكنة المتساوية في فرصة الحدوث، وقيمته بين ٠ و١.
- حوادث متتابعة مستقلّة ← اضرب الاحتمالات؛ و«دون إرجاع» انقص العدد قبل السحب الثاني.
- «على الأقل» أو «ليس» ← احسب احتمال العكس واطرحه من ١.
تابع قراءة «مبدأ العد والاحتمالات» مع البريميوم
مجموعة من الدروس التأسيسية متاحة مجاناً تجربةً للمنصة. باقي الدروس والاختبارات الكاملة تفتح مع الاشتراك.