كميبريميوم٢٣ من ٣١

المجسمات والحجوم

المجسمات أسئلة شبه مضمونة في كل اختبار قدرات، وقوانينها قليلة وسهلة الحفظ. سنغطّي المكعب ومتوازي المستطيلات والأسطوانة والمخروط، ثم قطر الصندوق والانعكاس على المستوى الإحداثي. القاعدة الذهبية طوال الدرس: المساحة تُقاس بالمربّع (سم^٢) والحجم يُقاس بالمكعّب (سم^٣) — وخلط الوحدتين هو الفخّ الأول.

تنبيه على الرموز في هذا الدرس ط تعني النسبة التقريبية ٣٫١٤ (باي)، ولا تعني الطول. الطول رمزه ل، والعرض ض، والارتفاع ع، ونصف القطر نق.

أولاً: المكعّب

قاعدة إذا كان طول الحرف = ل، فإن:

الحجم = ل^٣ ، المساحة الكلية = ٦ × ل^٢

وللمكعّب ١٢ حرفاً (مجموع أطوالها = ١٢ × ل)، و٨ رؤوس، و٦ أوجه مربّعة.

المكعّب: أحرفه الثلاثة المتعامدة (الطول والعرض والارتفاع) متساوية كلها = ل، وله ٦ أوجه و١٢ حرفاً و٨ رؤوس.

مثال محلول مكعّب حجمه ٢٧ سم^٣. أوجد طول حرفه ومساحة سطحه الكلية.

من الحجم: ل^٣ = ٢٧ ← ل = ∛٢٧ (الجذر التكعيبي لـ ٢٧) = ٣ سم.
المساحة الكلية = ٦ × ل^٢ = ٦ × ٣^٢ = ٦ × ٩ = ٥٤ سم^٢.
لاحظ اختلاف الوحدات: الحجم بـ سم^٣ والمساحة بـ سم^٢.

أخطاء شائعة

خلط الوحدات: كتابة المساحة بـ سم^٣ أو الحجم بـ سم^٢. المساحة تُكتب دائماً بالمربّع والحجم دائماً بالمكعّب.

ثانياً: متوازي المستطيلات

قاعدة إذا كانت أبعاده الطول (ل) والعرض (ض) والارتفاع (ع):

الحجم = ل × ض × ع

المساحة الكلية = ٢ × (ل×ض + ل×ع + ض×ع)

الأبعاد الثلاثة متعامدة: الطول (ل) أفقي، والارتفاع (ع) رأسي، والعرض (ض) هو العمق الداخل إلى الخلف.

ثالثاً: الأسطوانة والمخروط

الأسطوانة

الحجم = ط × نق^٢ × ع

أي مساحة القاعدة الدائرية × الارتفاع.

المخروط

الحجم = ١٣ × ط × نق^٢ × ع

ثُلث مساحة القاعدة × الارتفاع.

قاعدة وأما مساحة الأسطوانة:

المساحة الجانبية = ٢ × ط × نق × ع

المساحة الكلية = ٢ × ط × نق × (نق + ع)

تخيّل ملصق العلبة لو فرَدته على الطاولة: يصير مستطيلاً طوله محيط القاعدة (محيط الدائرة = ٢ × ط × نق) وعرضه الارتفاع ع، فتكون مساحته ٢ × ط × نق × ع. وإذا أضفت إليها القاعدتين (مساحة كل قاعدة = ط × نق^٢) حصلت على المساحة الكلية.

حيلة سريعة حجم المخروط = ثُلث حجم أسطوانة لها القاعدة والارتفاع نفسهما. لو عرفت حجم الأسطوانة، اقسمه على ٣ فوراً.

بنفس نصف القطر والارتفاع، حجم المخروط ثُلث حجم الأسطوانة.

أخطاء شائعة

نسيان أن حجم المخروط ثُلث حجم الأسطوانة وليس نصفها.

رابعاً: أثر التكبير على المساحة والحجم

قاعدة عند ضرب جميع أبعاد المجسم في العدد ك:

المساحة تُضرب في ك^٢ ، الحجم يُضرب في ك^٣

مثال: لو ضربنا حرف مكعب في ٢ (أي ك = ٢) فالمساحة ×٤ والحجم ×٨، ولو ضربناه في ٣ (أي ك = ٣) فالمساحة ×٩ والحجم ×٢٧.

الحرف ضُرب في ٢ (صار ل + ل)، فصار كل وجه ٤ مربّعات — عُدّها بنفسك — وصار المجسم كله ٨ مكعّبات صغيرة. هذا هو معنى ك^٢ = ٤ و ك^٣ = ٨.

والعكس صحيح قد يعطيك السؤال نسبة الحجوم ويطلب نسبة الأطوال أو المساحات، فترجع في الاتجاه المعاكس:

من نسبة الحجوم إلى نسبة الأطوال: خذ الجذر التكعيبي لكل طرف.
من نسبة المساحات إلى نسبة الأطوال: خذ الجذر التربيعي لكل طرف.
وبعد أن تصل إلى نسبة الأطوال تنتقل منها إلى أي نسبة أخرى.

مثال: نسبة حجمَي مكعبين ٨ : ٢٧ ← نسبة حرفيهما ٢ : ٣ (جذر تكعيبي) ← نسبة مساحتيهما ٤ : ٩ (تربيع).

أخطاء شائعة

ضرب المساحة أو الحجم في ك وحدها. الأطوال فقط هي التي تُضرب في ك، أما المساحة فتُضرب في ك^٢ والحجم في ك^٣.

خامساً: قطر متوازي المستطيلات

أطول قطعة مستقيمة يمكن أن تُوضع داخل صندوق هي قطره الفراغي: الواصل بين رأسين متقابلين. وهو فيثاغورس نفسه لكن بثلاثة أبعاد بدل بُعدين.

قاعدة لصندوق أبعاده ل و ض و ع:

القطر = √ل^٢ + ض^٢ + ع^٢

القطر الفراغي يصل بين رأسين متقابلين، وهو أطول قطعة داخل الصندوق.

مثال محلول صندوق أبعاده ٣ و ٤ و ١٢ سم. ما طول أطول عصا تُوضع داخله؟

اجمع مربّعات الأبعاد: ٣^٢ + ٤^٢ + ١٢^٢ = ٩ + ١٦ + ١٤٤ = ١٦٩.
خذ الجذر التربيعي: القطر = الجذر التربيعي للعدد ١٦٩ = ١٣ سم.
تحقّق سريعاً: القطر أطول من كل بُعد وحده (١٢) وأقصر من مجموع الأبعاد (١٩).

أخطاء شائعة

في قطر الصندوق: اجمع مربّعات الأبعاد الثلاثة ثم خذ الجذر، ولا تجمع الأبعاد نفسها.

أين البقية؟ أما الميل، ونقطة المنتصف، والبُعد بين نقطتين على المستوى، والتوازي والتعامد، فموضعها درس الهندسة التحليلية، وهناك تجد أمثلتها محلولة خطوة خطوة.

سادساً: مقياس الرسم

مقياس الرسم ١:ك يعني أن كل وحدة على الورق تمثّل ك وحدة على الحقيقة. والخطأ الأشهر ضربُ المساحة في ك بدل ك^٢ — وهو التطبيق المباشر لقاعدة التكبير في الفقرة رابعاً.

الأطوال × ك | المساحات × ك^٢ | الحجوم × ك^٣

مثال محلول رسم مهندس مستطيلاً صغيراً أبعاده ٥ و ٤ بمقياس رسم ١:١٩. أوجد مساحة المستطيل الكبير.

مساحة المستطيل الصغير = ٥ × ٤ = ٢٠.
المساحة تكبر بمربع النسبة: ١٩^٢ = ٣٦١.
المساحة الحقيقية = ٢٠ × ٣٦١ = ٧٢٢٠.

حيلة سريعة تحقّق بالأطوال: ٥ × ١٩ = ٩٥ و ٤ × ١٩ = ٧٦، ثم ٩٥ × ٧٦ = ٧٢٢٠ — النتيجة نفسها.

أخطاء شائعة

ضرب المساحة في ١٩ وحدها يعطي ٣٨٠ وهو أحد الخيارات المطروحة. النسبة بين المساحتين ٣٦١:١ لا ١٩:١.

سابعاً: تقدير حجم الأسطوانة بـ ط

حجم الأسطوانة يحتاج ط، والاختبار بلا آلة حاسبة، فالمطلوب عادةً مقارنة لا قيمة دقيقة. احسب أولاً العدد الذي يُضرب في ط، ثم قدّر الناتج بأن ط ≈ ٣٫١٤ أو ٢٢/٧.

حجم الأسطوانة = ط × نق^٢ × ع

مثال محلول أسطوانة مملوءة بعصير، قطر قاعدتها ١٠ وارتفاعها ١٠. قارن بين كمية العصير والقيمة ٧٥٠.

القطر ١٠ إذن نصف القطر = ٥.
الحجم = ط × ٥^٢ × ١٠ = ٢٥٠ ط.
٢٥٠ × ٣٫١٤ ≈ ٧٨٥، وهو أكبر من ٧٥٠.
إذن القيمة الأولى أكبر.

أخطاء شائعة

استعمال القطر مكان نصف القطر يعطي ط × ١٠^٢ × ١٠ = ١٠٠٠ ط، أي أربعة أضعاف الصواب. القانون يأخذ نصف القطر مربّعاً.

وإهمال ط والاكتفاء بـ ٢٥٠ يقلب المقارنة رأساً على عقب.

ثامناً: الانعكاس على المستوى الإحداثي

الانعكاس أكثر أسئلة الإحداثيات وروداً، وقاعدته تُقرأ من تغيّر الإحداثيين.

قاعدة

الانعكاس حول المحور الأفقي — واسمه في الاختبار محور السينات (المستقيم ص = ٠): تنقلب إشارة الإحداثي الثاني: (س ، ص) ← (س ، −ص).
الانعكاس حول المحور الرأسي — واسمه في الاختبار محور الصادات (المستقيم س = ٠): تنقلب إشارة الإحداثي الأول: (س ، ص) ← (−س ، ص).
الانعكاس حول نقطة الأصل: تنقلب الإشارتان معاً بلا تبادل: (س ، ص) ← (−س ، −ص).
الانعكاس حول المستقيم ص = س: يتبادل الإحداثيان موضعيهما والإشارتان كما هما: (س ، ص) ← (ص ، س).
الانعكاس حول المستقيم ص = −س: يتبادل الإحداثيان موضعيهما وتنقلب إشارتاهما معاً: (س ، ص) ← (−ص ، −س).

حيلة سريعة لا تبدأ بالإشارات، بل اسأل أولاً: هل تبادل الإحداثيان موضعيهما؟

نعم تبادلا ← الانعكاس حول ص = س إن بقيت الإشارتان كما هما، وحول ص = −س إن انقلبت الإشارتان.
لا لم يتبادلا ← عُدّ الإشارات المنقلبة: إشارة واحدة تعني الانعكاس حول محور، وإشارتان تعنيان الانعكاس حول نقطة الأصل.

مثال محلول إذا كانت صورة النقطة (٥ ، ٣) هي (٣ ، ٥)، فما الانعكاس المستخدم؟

هل تبادل الإحداثيان؟ نعم: ٥ صارت ثانيةً و٣ صارت أولى.
هل انقلبت الإشارتان؟ لا، كلتاهما موجبة كما كانت.
إذن الانعكاس حول المستقيم ص = س.

مثال ثانٍ صورة النقطة (٥ ، ٣) هي (−٣ ، −٥). هنا تبادل الإحداثيان وانقلبت إشارتاهما، فالانعكاس حول المستقيم ص = −س. ولو كان الانعكاس حول نقطة الأصل لكانت الصورة (−٥ ، −٣) بلا تبادل — وهذا هو الفرق بين الحالتين.

الخلاصة

المكعّب: حجم = ل^٣، مساحة = ٦ل^٢، وله ١٢ حرفاً و٨ رؤوس و٦ أوجه.
متوازي المستطيلات: حجم = ل×ض×ع، مساحة = ٢(ل×ض + ل×ع + ض×ع).
الأسطوانة: الحجم = ط×نق^٢×ع، والمساحة الجانبية = ٢×ط×نق×ع، والمساحة الكلية = ٢×ط×نق×(نق + ع)؛ والمخروط حجمه ثُلث حجم الأسطوانة.
التكبير ×ك: المساحة ×ك^٢، الحجم ×ك^٣.
قطر متوازي المستطيلات = الجذر التربيعي لـ (ل^٢ + ض^٢ + ع^٢)؛ مثال: ٣ و ٤ و ١٢ ← القطر ١٣.
احذر دائماً خلط سم^٢ (مساحة) مع سم^٣ (حجم).
مقياس الرسم ١:ك ← الأطوال × ك، المساحات × ك^٢، الحجوم × ك^٣.
حجم الأسطوانة = ط نق^٢ ع بنصف القطر لا القطر؛ والانعكاس حول ص = س يبادل الإحداثيين، وحول ص = −س يبادلهما ويقلب إشارتيهما.

تابع قراءة «المجسمات والحجوم» مع البريميوم

مجموعة من الدروس التأسيسية متاحة مجاناً تجربةً للمنصة. باقي الدروس والاختبارات الكاملة تفتح مع الاشتراك.