خصائص الأعداد وقابلية القسمة
خصائص الأعداد وقابلية القسمة
هذا الدرس أساس القسم الكمي كله؛ فخصائص الأعداد تدخل في أسئلة الحساب والجبر والمقارنات معاً. وإتقان قواعده يمكّنك من حلّ أسئلة كثيرة في ثوانٍ بلا آلة حاسبة — ولا توجد آلة حاسبة في القدرات أصلاً.
أولاً: مجموعات الأعداد والأعداد الأولية
قبل أي شيء، لا بد أن تعرف أنواع الأعداد وكيف يحتوي بعضها بعضاً: كل عدد طبيعي هو أيضاً عدد صحيح، وكل عدد صحيح هو أيضاً عدد نسبي.
الطبيعية داخل الصحيحة (تضمّ السالبة والصفر) داخل النسبية، والنسبي هو كل عدد يمكن كتابته كسراً، ومنه العشري المنتهي والعشري الدوري.- الأعداد الطبيعية: ١، ٢، ٣ ... والصحيحة تشمل السالبة والصفر.
- العدد الأولي أكبر من ١ ولا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى ١: ٢، ٣، ٥، ٧، ١١، ١٣، ١٧، ١٩، ٢٣، ٢٩ ...
- ١ ليس عدداً أولياً ولا مركّباً (والعدد المركّب — ويسمّى أيضاً «المؤلَّف» — هو ما له قاسم غير نفسه و١، مثل ٤ و٦ و٩).
- ٢ هو العدد الأولي الزوجي الوحيد، وأصغر عدد أولي فردي هو ٣.
ثانياً: الأعداد الزوجية والفردية
الزوجي يُكتب على صورة ٢ن ويقبل القسمة على ٢، والفردي يُكتب ٢ن+١ ولا يقبلها. وتذكّر أن الصفر عدد زوجي.
الجمع والطرح
زوجي ± زوجي = زوجي
فردي ± فردي = زوجي
زوجي ± فردي = فردي
الضرب والأسس
زوجي × أي عدد = زوجي
فردي × فردي = فردي
الفرديأس موجب = فردي، والزوجيأس موجب = زوجي
ناتج الضرب يكون فردياً فقط إذا كان كل العوامل فردية؛ فيكفي عامل زوجي واحد ليصبح الناتج زوجياً.
ثالثاً: قواعد قابلية القسمة
هذه القواعد توفّر وقتاً ذهبياً في يوم الاختبار، فاحفظها جيداً:
| القاسم | القاعدة |
|---|---|
| ٢ | آحاده زوجي (٠، ٢، ٤، ٦، ٨). |
| ٣ | مجموع أرقامه يقبل القسمة على ٣. |
| ٤ | آخر رقمين يقبلان القسمة على ٤. |
| ٥ | آحاده ٠ أو ٥. |
| ٦ | يقبل القسمة على ٢ و ٣ معاً. |
| ٧ | اطرح ضعف الآحاد من باقي العدد وكرّر حتى يصغر العدد؛ فإن قبِلت النتيجة القسمة على ٧ قبِلها العدد. |
| ٨ | آخر ثلاثة أرقام تقبل القسمة على ٨. |
| ٩ | مجموع أرقامه يقبل القسمة على ٩. |
| ١٠ | آحاده ٠. |
| ١١ | (مجموع أرقام المواضع الفردية − مجموع أرقام المواضع الزوجية) = ٠ أو يقبل القسمة على ١١. |
| ١٢ | يقبل القسمة على ٣ و ٤ معاً. |
| ١٣ | أضف أربعة أمثال الآحاد إلى باقي العدد وكرّر حتى يظهر مضاعف لـ ١٣. |
تقسيم القاسم إلى عاملين يصحّ فقط إذا كان العاملان أوليين فيما بينهما، أي لا يشتركان في أي عامل أولي. لذلك ٦ = ٢ × ٣ ✓، و١٢ = ٣ × ٤ ✓.
لكن ٨ = ٢ × ٤ ✗، لأن ٢ و٤ يشتركان في العامل ٢: العدد ١٢ يقبل القسمة على ٢ وعلى ٤، ولا يقبلها على ٨.
وكذلك ١٢ = ٢ × ٦ ✗: العدد ١٨ يقبل القسمة على ٢ وعلى ٦، ولا يقبلها على ١٢.
افحص قابلية العدد ٢٤٦ للقسمة على ٣ و٦ و٩.
- على ٣؟ مجموع أرقامه ٢ + ٤ + ٦ = ١٢ يقبل القسمة على ٣ ← نعم.
- على ٦؟ آحاده ٦ زوجي (يقبل على ٢) وقد قبِل على ٣ ← نعم.
- على ٩؟ المجموع ١٢ لا يقبل القسمة على ٩ ← لا.
قاعدة الـ ٧: العدد ١٦١ ← ١٦ − (٢×١) = ١٤ يقبل القسمة على ٧، إذن ١٦١ يقبلها أيضاً.
ولو بقي العدد كبيراً كرّر الخطوة: ٨٦٣٨ ← ٨٦٣ − ١٦ = ٨٤٧ ← ٨٤ − ١٤ = ٧٠ يقبل القسمة على ٧ ✓ (و٨٦٣٨ = ٧ × ١٢٣٤).
رابعاً: ترتيب العمليات
عند وجود أكثر من عملية، ننفّذها بترتيب صارم؛ وخطأ الترتيب من أكثر الأخطاء تكراراً.
سلّم الأولوية من الأعلى (الأقواس) إلى الأدنى (الجمع والطرح).- ٣ + ٢ × ٤ = ٣ + ٨ = ١١ (الضرب قبل الجمع).
- (٣ + ٢) × ٤ = ٥ × ٤ = ٢٠ (القوس غيّر كل شيء).
- ١٨ ÷ ٣ × ٢ = ٦ × ٢ = ١٢ (نسير بالترتيب، لا ١٨ ÷ ٦).
خامساً: القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر
ق.م.أ (القاسم المشترك الأكبر): أكبر عدد يقسم العددين معاً = حاصل ضرب العوامل الأولية المشتركة، كلٌّ بأصغر تكرار له.
م.م.أ (المضاعف المشترك الأصغر): أصغر عدد يقبل القسمة على العددين معاً = كل عامل أولي بأكبر تكرار له.
جد ق.م.أ و م.م.أ للعددين ١٢ و١٨.
- حلّل: ١٢ = ٢×٢×٣، و١٨ = ٢×٣×٣.
- ق.م.أ = العوامل المشتركة = ٢×٣ = ٦.
- م.م.أ = كل عامل بأكبر تكرار = ٢×٢×٣×٣ = ٣٦.
وماذا لو تكرّر العامل نفسه في العددين؟ جد ق.م.أ و م.م.أ للعددين ١٦ و٢٤.
- حلّل: ١٦ = ٢×٢×٢×٢، و٢٤ = ٢×٢×٢×٣.
- العامل المشترك هو ٢ وحده، لكنه يتكرر أربع مرات في ١٦ وثلاث مرات في ٢٤، فنأخذه بأصغر تكرار.
- ق.م.أ = ٢×٢×٢ = ٨، وليس ٢.
- م.م.أ = كل عامل بأكبر تكرار = ٢×٢×٢×٢×٣ = ٤٨.
- تحقّق: ٨ × ٤٨ = ٣٨٤ = ١٦ × ٢٤.
تحقّق: ٦ × ٣٦ = ٢١٦ = ١٢ × ١٨. هذه العلاقة تتيح إيجاد أحدهما إذا عرفت الآخر.
لعددين فقط: لا تصحّ هذه العلاقة لثلاثة أعداد أو أكثر؛ فمثلاً ٤ و٦ و٨: ق.م.أ = ٢ و م.م.أ = ٢٤، وحاصلهما ٤٨ لا ١٩٢.
صياغة السؤال تحدّد الطريقة:
«أكبر عدد يقسم الأعداد معاً / أكبر طول قطعة / أكبر عدد مجموعات متساوية / نوزّع بالتساوي دون بقايا» ← ق.م.أ.
«متى يلتقون / في نفس الوقت / أقل عدد يقبل القسمة على الأعداد» ← م.م.أ.
الكلمة وحدها لا تكفي؛ اسأل: هل المطلوب عدد يَقسم الأعداد (ق.م.أ) أم عدد تَقسمه الأعداد (م.م.أ)؟
سادساً: عدّ الأعداد المحصورة
و«الأساس» هنا هو الفرق الثابت بين كل عددين متتاليين في النمط: ١ للأعداد المتتالية، و٢ للزوجية أو الفردية، و٥ لمضاعفات الخمسة.
الأعداد الزوجية من ٢ إلى ٢٠ عددها عشرة، لا تسعة.كم عدداً من ١٧ إلى ٤٩؟ = (٤٩ − ١٧) ÷ ١ + ١ = ٣٣ عدداً (لا ٣٢).
القاعدة نفسها تحكم عدّ الصفحات والأعمدة والأيام — انظر تطبيقها على الصفحات في درس المسائل اللفظية.
سابعاً: مسألة محلولة شاملة
أبٌ يزوره أبناؤه: الأول كل ٣ أيام، والأوسط كل يومين، والأصغر كل ٥ أيام. بعد ٦٠ يوماً كم مرة يلتقون جميعاً؟
- «متى يلتقون» ← نستخدم م.م.أ.
- الأعداد ٣ و٢ و٥ أولية فيما بينها، فنضربها مباشرة: م.م.أ = ٣ × ٢ × ٥ = ٣٠.
- خلال ٦٠ يوماً يلتقون عند اليوم ٣٠ واليوم ٦٠ ← مرتان.
ثامناً: عدّ الأرقام والقيمة المكانية
نمطان متكرران جداً يبدوان سهلين ويسقط فيهما كثيرون: عدّ الأرقام (لا الأعداد) في مدى معيّن، ومعرفة عدد المئات أو الآلاف داخل عدد كبير.
أ) عدّ ضغطات لوحة المفاتيح
كل ضغطة رقمٌ واحد: العدد ٧ يحتاج ضغطة، و٤٥ يحتاج ضغطتين، و١٢٣ يحتاج ثلاثاً. لذلك نقسّم المدى إلى كتلٍ حسب عدد الخانات ونجمع.
شخص يكتب الأعداد من ٥ إلى ٢٠٠، فكم مرة يضغط على الأزرار؟
- خانة واحدة، من ٥ إلى ٩: ٩ − ٥ + ١ = ٥ أعداد × ١ = ٥ ضغطات.
- خانتان، من ١٠ إلى ٩٩: ٩٩ − ١٠ + ١ = ٩٠ عدداً × ٢ = ١٨٠ ضغطة.
- ثلاث خانات، من ١٠٠ إلى ٢٠٠: ٢٠٠ − ١٠٠ + ١ = ١٠١ عدداً × ٣ = ٣٠٣ ضغطات.
- المجموع = ٥ + ١٨٠ + ٣٠٣ = ٤٨٨.
لو بدأ العدّ من ١ بدل ٥ فالفارق أربعة أعداد من خانة واحدة فقط: ٤٨٨ + ٤ = ٤٩٢. تغيّر نقطة البداية لا يستدعي إعادة الحل من أوله.
ب) القيمة المكانية
«عدد المئات في العدد» يعني: كم مئةً كاملة يحتويها؟ والجواب ناتج القسمة على ١٠٠ مع إهمال الباقي — وليس رقم خانة المئات.
ما عدد المئات في العدد ٧٩٦٣٥؟
- ٧٩٦٣٥ ÷ ١٠٠ = ٧٩٦ والباقي ٣٥.
- إذن العدد يحتوي ٧٩٦ مئةً كاملة.
الخلط بين «عدد المئات» و«رقم خانة المئات»: في ٧٩٦٣٥ رقم خانة المئات ٦، أما عدد المئات فـ ٧٩٦ — والقيمتان مطروحتان معاً في الخيارات.
أخطاء شائعة
- ١ ليس أولياً ولا مركّباً، و٢ أولي رغم أنه زوجي، والصفر زوجي.
- في ١٨ ÷ ٣ × ٢ لا تضرب ٣ × ٢ أولاً؛ فالضرب والقسمة بنفس الأولوية تُنفَّذ بترتيب ورودها.
- لا تخلط بين ق.م.أ و م.م.أ بسبب الاسم؛ فـ«الأكبر» في ق.م.أ أصغر من العددين أو يساويهما، و«الأصغر» في م.م.أ أكبر منهما أو يساويهما.
- أحياناً تُوضع معلومة زائدة للتمويه؛ ركّز على المطلوب فقط، وتحقّق من أولية العدد بالتحليل لا بالشكل.
الخلاصة
- ١ ليس أولياً، و٢ هو الأولي الزوجي الوحيد، والصفر زوجي.
- احفظ قواعد قابلية القسمة من ٢ إلى ١٣ لتوفّر ثواني الحل الثمينة.
- ترتيب العمليات: أقواس ← أسس وجذور ← ضرب وقسمة ← جمع وطرح، والمتساوي منها بترتيب وروده.
- ق.م.أ = العوامل المشتركة كلٌّ بأصغر تكرار، م.م.أ = كل عامل بأكبر تكرار، وحاصلهما = حاصل ضرب العددين (لعددين فقط).
- عدد يَقسم الأعداد ← ق.م.أ، وعدد تَقسمه الأعداد ← م.م.أ، وعدد المحصورة = (الأخير − الأول) ÷ الأساس + ١.
- عدّ الضغطات = مجموع (عدد الأعداد × عدد خاناتها) لكل كتلة؛ وعدد المئات = العدد ÷ ١٠٠ بإهمال الباقي.
تابع قراءة «خصائص الأعداد وقابلية القسمة» مع البريميوم
مجموعة من الدروس التأسيسية متاحة مجاناً تجربةً للمنصة. باقي الدروس والاختبارات الكاملة تفتح مع الاشتراك.