المسائل اللفظية في القسم الكمي
المسائل اللفظية في القسم الكمي
المسائل اللفظية من أكثر أنواع القسم الكمي وروداً: أعمار، وعمل مشترك، وخلطات، وزكاة، و«قوانين الحياة» مثل المصافحات والصفحات والمشابك. كثير منها له قانون جاهز بمجرد أن تعرف نوعه، وما لا قانون له يُحَلّ بترجمة الجملة إلى معادلة — وهنا نجمع القوانين مع مثال محلول لكلٍّ منها.
الخطة العامة لأي مسألة لفظية
- اقرأ مرتين: الأولى لفهم القصة، والثانية لالتقاط الأرقام.
- حدّد المطلوب بالضبط وضع تحته خطاً؛ فهذا أكثر مكان يغلط فيه الطلاب.
- اعرف النوع: عمر؟ عمل؟ خلطة؟ قانون حياتي؟ لكل نوع قانونه.
- تحقق: هل الجواب منطقي، وهل هو فعلاً المطلوب؟
أعار سعد ٦ كتب من مكتبته، ثم استعار ٤ كتب من صديقه، فصار لديه ٢٨ كتاباً. كم كتاباً كان لديه في البداية؟
- اجعل العدد في البداية = س.
- «أعار ٦» تعني ناقص ٦، و«استعار ٤» تعني زائد ٤ ← س − ٦ + ٤ = ٢٨.
- س − ٢ = ٢٨ ← س = ٣٠ كتاباً. تحقق: ٣٠ − ٦ + ٤ = ٢٨ ✓
لا قانون هنا؛ كل ما فعلناه أننا حوّلنا كل كلمة إلى إشارة: «أعطى/أعار/باع» ناقص، و«أخذ/استعار/اشترى» زائد.
أولاً: مسائل العمر
القاعدة الذهبية: اجعل العمر الأصغر = س عند اللحظة التي تربط بينهما المسألة، واكتب الباقي بدلالته؛ فهذا أسهل من الكسور.
يمثّل كل شريط عمراً؛ الفرق ٣س يساوي ١٨ فيكون س = ٦.الفرق بين عمرين لا يتغيّر أبداً؛ فالسنة تمرّ على الاثنين معاً. إن كان الفرق اليوم ١٨ سنة فهو ١٨ سنة قبل عشر سنوات وبعد عشر سنوات. أمّا النسبة بين العمرين فتتغيّر كلما مرّ الزمن، ولهذا تسألك المسألة عنها في لحظة محدّدة.
الفرق بين عمري خالد وأحمد ١٨ سنة، وعمر خالد ربع عمر أحمد. ما عمر خالد؟
- اجعل عمر خالد = س ← عمر أحمد = ٤س.
- الفرق: ٤س − س = ١٨ ← ٣س = ١٨.
- س = ٦ سنوات.
انتبه: المطلوب عمر خالد (٦) لا عمر أحمد (٢٤)، والاثنان غالباً ضمن الخيارات.
عمر الأب الآن ٤٠ سنة، وعمر ابنه ١٠ سنوات. بعد كم سنة يصير عمر الأب ضعف عمر ابنه؟
اجعل عدد السنوات = ن، ثم أضِف ن إلى كل عمر في الجدول؛ لأن الزمن يمرّ على الاثنين معاً:
| الشخص | الآن | بعد ن سنة |
|---|---|---|
| الأب | ٤٠ | ٤٠ + ن |
| الابن | ١٠ | ١٠ + ن |
- «ضعف عمر ابنه» في تلك اللحظة: ٤٠ + ن = ٢ × (١٠ + ن).
- ٤٠ + ن = ٢٠ + ٢ن ← ن = ٢٠ سنة.
- تحقق: بعد ٢٠ سنة يصير الأب ٦٠ والابن ٣٠، و٦٠ = ٢ × ٣٠ ✓ ولاحظ أن الفرق بقي ٣٠ سنة كما هو.
الخطأ الشائع هنا إضافة ن إلى عمر واحد فقط؛ فإن فعلت خرجت بجواب لا معنى له.
ثانياً: العمل المشترك (المعدلات)
إذا عمل اثنان معاً فاجمع معدّليهما لا أزمانهما. فإن أنجز الأول العمل في ز₁، والثاني في ز₂، والزمن معاً ز:
الفكرة: في كل ساعة ينجز الأول ١ز₁ من العمل والثاني ١ز₂، فمعاً ينجزان مجموعهما.
الخزان ٣٠ جزءاً؛ في كل ساعة يملأ الأول ٣ أجزاء (٣٣٠ = ١١٠) ويملأ الثاني جزأين (٢٣٠ = ١١٥)، فمعاً ٥٣٠ = ١٦ من الخزان كل ساعة، فيمتلئ في ٦ ساعات.صنبور يملأ خزاناً في ١٠ ساعات، وآخر يملؤه في ١٥ ساعة. كم يستغرقان معاً؟
- ١ز = ١١٠ + ١١٥ = ٣٣٠ + ٢٣٠ = ٥٣٠ = ١٦.
- إذن ز = ٦ ساعات.
لاحظ أنه أقل من زمن الأسرع وحده (١٠ ساعات)، وهذا منطقي ما دام كلاهما يملأ.
القانون السابق للمساعدين فقط. والقاعدة العامة: كل ما يُعين يُجمع، وكل ما يُعيق يُطرح. فإن كان في الخزان ثقب أو صنبور تصريف فمعدّله يُطرح لا يُجمع:
صنبور يملأ خزاناً في ٦ ساعات، وفي قاع الخزان ثقب يُفرغه وحده في ١٠ ساعات. فُتح الصنبور والثقب مفتوح، ففي كم ساعة يمتلئ الخزان؟
- الصنبور يملأ فيُجمع، والثقب يُفرغ فيُطرح: ١ز = ١٦ − ١١٠.
- = ٥٣٠ − ٣٣٠ = ٢٣٠ = ١١٥.
- إذن ز = ١٥ ساعة.
الجواب هنا أطول من ٦ ساعات لا أقصر، لأن الخزان يتسرّب أثناء ملئه. ولو جمعت المعدّلين لخرجت بـ ٣٫٧٥ ساعة، أي أسرع من الصنبور وحده — وهذا مستحيل.
ثالثاً: الخلطات
في الخلطات احسب كمية المادة المخلوطة نفسها — وهي الملح في أمثلتنا — قبل الخلط وبعده؛ فهي لا تتغير عند إضافة ماء فقط، والذي يتغير هو الكمية الكلية.
كمية المادة المخلوطة = النسبة × الكمية الكلية، وهي ثابتة لا تتغيّر عند إضافة ماء فقط.
محلول حجمه ٤٠ لتراً يحتوي ٢٥٪ ملحاً. كم لتر ماء نضيف ليصبح التركيز ٢٠٪؟
- كمية الملح = ٢٥٪ × ٤٠ = ١٠ لترات (ثابتة).
- الحجم الجديد ص يحقق: ١٠ = ٢٠٪ × ص ← ص = ١٠ ÷ ٠٫٢ = ٥٠ لتراً.
- الماء المضاف = ٥٠ − ٤٠ = ١٠ لترات.
رابعاً: الزكاة
زكاة المال ٢٫٥٪، ولا تجب إلاّ بشرطين: أن يبلغ المال النصاب (أقلّ مقدار تجب فيه الزكاة)، وأن يمرّ عليه عام كامل وهو المقصود بـ«حال عليه الحول». وأسهل صورة لحسابها القسمة على ٤٠ لأن ٢٫٥٪ = ١٤٠.
رجل بلغ ماله ٨٠٠٠٠ ريال، فتجاوز النصاب ومرّ عليه عام كامل. كم زكاته؟
الزكاة = ٨٠٠٠٠ ÷ ٤٠ = ٢٠٠٠ ريال.
خامساً: قوانين الحياة
أنماط متكررة لها قوانين محفوظة توفّر عليك وقتاً كبيراً.
١) المصافحات
إذا صافح كل شخص في مجموعة كل الآخرين مرة واحدة، فعدد المصافحات لـ ن شخصاً:
٦ أشخاص صافح كل منهم الآخرين مرة واحدة ← ٦ × ٥ ÷ ٢ = ١٥ مصافحة.
لو كانت «هدايا متبادلة» فلا نقسم على ٢: ن(ن − ١)، لأن هدية أحمد لسعد غير هدية سعد لأحمد.
٢) عدد الصفحات (والأعداد المحصورة)
عدد الصفحات من صفحة البداية إلى صفحة النهاية شاملةً الطرفين:
وهذا حين تتوالى الأعداد واحداً واحداً. أمّا إن كانت تقفز بخطوة أكبر — كالأعداد الزوجية (خطوتها ٢) أو مضاعفات ٣ (خطوتها ٣) — فاقسم على الخطوة أولاً:
من الصفحة ٥ إلى الصفحة ١٠ ← (١٠ − ٥) + ١ = ٦ صفحات (وليس ٥).
الأعداد الزوجية من ١٠ إلى ١٠٠ ← ((١٠٠ − ١٠) ÷ ٢) + ١ = ٤٥ + ١ = ٤٦ عدداً.
مضاعفات ٣ من ١٢ إلى ٦٠ ← ((٦٠ − ١٢) ÷ ٣) + ١ = ١٦ + ١ = ١٧ عدداً.
انتبه للفرق بين عدد الأعداد وعدد الأرقام. فإن سُئلت كم رقماً نكتب لترقيم كتاب، قسّم المدى حسب طول العدد ثم اجمع:
- من ١ إلى ٩: ٩ أعداد من رقم واحد ← ٩ × ١ = ٩ أرقام.
- من ١٠ إلى ٩٩: ٩٠ عدداً من رقمين ← ٩٠ × ٢ = ١٨٠ رقماً.
- العدد ١٠٠ من ثلاثة أرقام ← ٣ أرقام.
- فكتاب من ١ إلى ١٠٠ نكتب فيه ٩ + ١٨٠ + ٣ = ١٩٢ رقماً.
وعدد الأعداد في كل شريحة يأتي من القانون نفسه: من ١٠ إلى ٩٩ ← (٩٩ − ١٠) + ١ = ٩٠.
٣) المشابك والأعمدة
إذا عُلِّقت ن قطعة في صفٍّ مفتوح — أي صفٍّ له طرفان، كحبل ممدود بين عمودين أو طريق مستقيم — بمشبك عند كل طرف وبين كل قطعتين، فعدد المشابك = ن + ١، وكذلك الأعمدة على طريق مستقيم بين نقطتين = عدد الفترات + ١.
أمّا نقاط الوصل بين ن قطعة — كعُقَد حبل أو حلقات سلسلة — فهي ن − ١؛ فربط ٧ قطع حبل ببعضها يحتاج ٦ عُقَد فقط.
وإذا كان الصفّ مغلقاً (حبل على شكل حلقة، أو أعمدة حول حديقة أو مسار دائري) فلا طرفين فيه، وعدد المشابك = عدد القطع بلا زيادة.
قبل أن تحسب اسأل: الصفّ مفتوح أم مغلق؟ مفتوح ← +١، مغلق ← بلا زيادة.
لتعليق ٧ قطع غسيل على حبل بين عمودين بمشبك عند كل طرف وبين كل قطعتين ← عدد المشابك = ٧ + ١ = ٨ مشابك.
كل قانون هنا له توأم يقلبه شرطٌ واحد في نصّ السؤال، وهذا ما يختبره قياس:
| اسأل قبل الحساب | القانون |
|---|---|
| متبادلة؟ (مصافحة، تحيّة، لقاء بين اثنين) | ن(ن − ١) ÷ ٢ |
| من كلٍّ إلى كلّ؟ (هدية، رسالة، بطاقة) | ن(ن − ١) بلا قسمة |
| صفّ مفتوح؟ (حبل بين عمودين، طريق، صفحات) | عدد القطع + ١ |
| شكل مغلق؟ (دائرة، مسار حول حديقة) | عدد القطع بلا زيادة |
التكتيكات الذهبية
- اعرف النوع من الكلمة المفتاحية: «صافح» ← ن(ن−١)٢، و«من صفحة … إلى» ← (نهاية−بداية)+١، و«معاً» في العمل ← ١ز = ١ز₁ + ١ز₂، واطرح بدل أن تجمع إن كان أحدهما يُفرِّغ.
- جرّب الخيارات: لو تعقّدت المعادلة، عوّض بالخيار الأوسط ثم اضبط.
- وحّد الوحدات: دقائق مع ساعات، ولتر مع لتر، قبل أي عملية.
- فخ «+١»: في الصفحات وفي الصفّ المفتوح تُحسب نقطتا البداية والنهاية، أما الصفّ المغلق فلا زيادة فيه؛ اسأل أولاً: مفتوح أم مغلق؟
- فخ القسمة على ٢: المصافحات تُقسم على ٢ (متبادلة)، أما الهدايا فلا.
- فخ جمع الأزمان: في العمل المشترك نجمع المعدلات لا الأزمان. وإذا كان الجميع يعملون في اتجاه واحد فالزمن المشترك أقل من زمن الأسرع، أمّا إن وُجد مُفرِّغ فالزمن أطول من زمن المالئ وحده.
- فخ المطلوب الآخر: يُحسب عمر أحمد والمطلوب عمر خالد، أو الكمية الكلية والمطلوب المضاف.
الخلاصة
- العمر: اجعل الأصغر = س واكتب الباقي بدلالته.
- العمل المشترك: ١ز = ١ز₁ + ١ز₂ — اجمع معدّل من يُعين واطرح معدّل من يُفرِّغ.
- العمر: الفرق بين عمرين ثابت لا يتغيّر، وأي انتقال في الزمن يُضاف إلى كل الأعمار معاً.
- الخلطات: كمية المادة المخلوطة (الملح) ثابتة عند إضافة ماء.
- الزكاة: المبلغ ÷ ٤٠.
- قوانين الحياة: المصافحات ن(ن−١)٢، الصفحات (نهاية−بداية)+١ وبخطوة غير ١ نقسم على الخطوة، المشابك في صفّ مفتوح قطع+١ وفي صفّ مغلق = عدد القطع.
تابع قراءة «المسائل اللفظية في القسم الكمي» مع البريميوم
مجموعة من الدروس التأسيسية متاحة مجاناً تجربةً للمنصة. باقي الدروس والاختبارات الكاملة تفتح مع الاشتراك.