الدوائر والمضلعات
الدوائر والمضلعات
يجمع هذا الدرس بين الدائرة والمضلعات والأشكال المركّبة — وهو من أكثر مواضيع القسم الكمي وروداً. أكثر ما يُختبر فيه: المحيط والمساحة، زوايا الدائرة، أقطار المضلع، الأشكال المرسومة داخل الدائرة، والمناطق المظللة. سنجمع كل قانون تحتاجه مع الحيل التي تُسرّع الحل يوم الاختبار.
أولاً: الدائرة
الدائرة تُحدَّد بمركزها ونصف قطرها نق. كل قانون فيها يعتمد على نق، والقطر ضِعفه.
ثانياً: زوايا الدائرة والقطاع الدائري
- الزاوية المركزية (رأسها المركز) = قياس القوس الذي تحصره.
- الزاوية المحيطية (رأسها على الدائرة) = ½ × الزاوية المركزية المشتركة معها في القوس نفسه.
- الرباعي الدائري (رؤوسه الأربعة على الدائرة): كل زاويتين متقابلتين مجموعهما = ١٨٠°؛ فلو كانت إحدى زواياه ١١٠° فمقابلتها = ١٨٠ − ١١٠ = ٧٠°.
- الزاوية المحيطية المرسومة على القطر = ٩٠° دائماً، لأن مركزيتها زاوية مستقيمة قياسها ١٨٠°، ونصفها ٩٠°.
الزاوية المركزية تقسم الدائرة إلى قطاعات. القطاع قطعة من الدائرة، ونصيبه من المساحة ومن المحيط بقدر نصيب زاويته من ٣٦٠°.
- نصيب القطاع من الدائرة = ٦٠ ÷ ٣٦٠، أي سُدس الدائرة.
- مساحة القطاع = (٦٠ ÷ ٣٦٠) × ط × ٦٢ = ٣٦ط ÷ ٦ = ٦ط.
- طول القوس = (٦٠ ÷ ٣٦٠) × ٢ × ط × ٦ = ١٢ط ÷ ٦ = ٢ط.
ثالثاً: المضلعات
- مجموع الزوايا الداخلية = (ن − ٢) × ١٨٠، حيث ن عدد الأضلاع.
- عدد الأقطار = [ن × (ن − ٣)] ÷ ٢. والقطر في المضلع هو القطعة التي تصل بين رأسين غير متجاورين، وليس معناه هنا كمعناه في الدائرة.
- أما قياس الزاوية الواحدة في المضلع المنتظم ففيه قسم كامل في آخر الدرس (القسم الثامن).
- نطبّق: عدد الأقطار = [ن × (ن − ٣)] ÷ ٢.
- = [٦ × (٦ − ٣)] ÷ ٢ = ١٨ ÷ ٢.
- = ٩ أقطار.
وفي الخماسي (ن = ٥): ٥ × (٥ − ٣) = ١٠، ثم ١٠ ÷ ٢ = ٥ أقطار. لاحظ أن تأجيل القسمة إلى النهاية يُبقي الأرقام صحيحة في المضلعات ذات العدد الفردي من الأضلاع.
| المضلع | ن | مجموع الزوايا | عدد الأقطار |
|---|---|---|---|
| مثلث | ٣ | ١٨٠° | ٠ |
| رباعي | ٤ | ٣٦٠° | ٢ |
| خماسي | ٥ | ٥٤٠° | ٥ |
| سداسي | ٦ | ٧٢٠° | ٩ |
رابعاً: مساحات أشكال مهمة
- المعيّن = ½ × ق₁ × ق₂، حيث ق₁ وق₂ قطرا المعيّن (نصف حاصل ضرب القطرين).
- شبه المنحرف = ½ × (أ + ب) × ع، حيث أ وب القاعدتان المتوازيتان وع الارتفاع. لاحظ أن الحرف هنا أ وب لا ق، لأن ق للقطر لا للقاعدة.
- المسدّس المنتظم = (٣√٣ ÷ ٢) × ل٢، حيث ل طول الضلع.
خامساً: أشكال منتظمة داخل الدائرة
إذا رُسم شكل منتظم داخل دائرة نصف قطرها نق (رؤوسه على المحيط)، تربط النِّسب التالية بين ضلعه ونق:
قطره = قطر الدائرة
ضلعه = نق × √٢
ضلعه = نق
ضلعه = نق × √٣
سادساً: المناطق المظللة
- مربع داخل مربع (رؤوس الداخلي عند منتصفات أضلاع الخارجي): مساحة الداخلي = ½ الخارجي.
- مثلث داخل مثلث (رؤوسه عند منتصفات الأضلاع): مساحة الداخلي = ¼ الخارجي.
- الدائرة تمسّ الأضلاع الأربعة ← قطرها = ضلع المربع = ٦، إذن نق = ٣.
- مساحة المربع = ٦ × ٦ = ٣٦.
- مساحة الدائرة = ط × ٣٢ = ٩ط.
- المظلل = الكبير − الصغير = ٣٦ − ٩ط.
- مساحة المربع = ٨ × ٨ = ٦٤.
- ربع الدائرة زاويته ٩٠°، فمساحته = (٩٠ ÷ ٣٦٠) × ط × ٨٢ = ٦٤ط ÷ ٤ = ١٦ط.
- الباقي = ٦٤ − ١٦ط (ولو طرحنا الدائرة كاملة لخرج الجواب سالباً).
- الخلط بين القطر ونصف القطر: تأكّد من قسمة القطر على ٢ قبل قانون المساحة.
- دائرة داخلية مماسّة للمربع ← قطرها = ضلع المربع. أما دائرة محيطة بالمربع (رؤوسه على الدائرة) فقطرها = قطر المربع، أي القطعة الواصلة بين رأسين متقابلين = الضلع × √٢.
- استخدام (ن − ٢) × ١٨٠ لزاوية واحدة: هذا مجموع الزوايا، اقسمه على ن للمنتظم.
سابعاً: التماثل الدوراني
إذا دار مضلع منتظم حول مركزه انطبق على نفسه عدداً من المرات في الدورة الكاملة، وهذا العدد هو رتبة التماثل الدوراني. والسؤال عادةً: ما أصغر زاوية ندير بها الشكل حتى يعود كما كان؟
- الزاوية = ٣٦٠ ÷ ٥.
- = ٧٢°.
لا تخلط بين زاوية التماثل الدوراني (٣٦٠ ÷ ن) والزاوية الداخلية للمضلع (مجموع الزوايا ÷ ن). في الخماسي المنتظم الأولى ٧٢° والثانية ١٠٨°، وكلتاهما تظهران في الخيارات. وزاوية التماثل الدوراني هي نفسها الزاوية الخارجية للمضلع — انظر القسم الثامن.
ثامناً: قياس الزاوية الداخلية الواحدة
الجدول السابق يعطي مجموع الزوايا الداخلية، لكن السؤال يطلب غالباً قياس الزاوية الواحدة في مضلع منتظم — وهي المجموع مقسوماً على عدد الأضلاع.
- مجموع الزوايا = (٦ − ٢) × ١٨٠ = ٧٢٠°.
- الزاوية الواحدة = ٧٢٠ ÷ ٦ = ١٢٠°.
- إذن القيمتان متساويتان.
قسمة ٣٦٠ على ن تعطي الزاوية الخارجية (٦٠° للسداسي) لا الداخلية. وانتبه: ٣٦٠ ÷ ن هي نفسها الزاوية الخارجية، وهي نفسها أصغر زاوية دوران في القسم السابق — رقم واحد باسمين. والزاوية الداخلية = ١٨٠ − هذا الرقم، أي ١٨٠ − ٦٠ = ١٢٠° للسداسي.
الخلاصة
- محيط الدائرة = ٢ط نق، ومساحتها = ط نق٢، والقطر = ٢ نق.
- الزاوية المحيطية = نصف المركزية المشتركة معها في القوس، والمرسومة على القطر = ٩٠°؛ متقابلتا الرباعي الدائري مجموعهما ١٨٠°.
- مساحة القطاع = (الزاوية ÷ ٣٦٠) × ط نق٢، وطول القوس = (الزاوية ÷ ٣٦٠) × ٢ ط نق.
- مجموع زوايا المضلع = (ن − ٢) × ١٨٠، وعدد أقطاره = [ن × (ن − ٣)] ÷ ٢.
- المعيّن = ½ ق₁ ق₂ (ق₁ وق₂ قطراه)، شبه المنحرف = ½ (أ + ب) ع (أ وب قاعدتاه المتوازيتان)، المسدّس المنتظم = (٣√٣ ÷ ٢) ل٢.
- داخل دائرة نق: ضلع المربع = نق√٢، ضلع المسدّس = نق، ضلع المثلث = نق√٣.
- المظلل = الشكل الكبير − الشكل الصغير؛ احفظ نِسبتَي ½ و¼ للأشكال المتداخلة عند المنتصفات.
- زاوية التماثل الدوراني = ٣٦٠° ÷ الرتبة، وهي نفسها الزاوية الخارجية، وليست الزاوية الداخلية.
- الزاوية الداخلية الواحدة = (ن − ٢) × ١٨٠ ÷ ن؛ والخارجية = ٣٦٠ ÷ ن، ومجموعهما ١٨٠°.
تابع قراءة «الدوائر والمضلعات» مع البريميوم
مجموعة من الدروس التأسيسية متاحة مجاناً تجربةً للمنصة. باقي الدروس والاختبارات الكاملة تفتح مع الاشتراك.