المعادلات والمتباينات

المعادلة جملة رياضية بطرفين متساويين تفصل بينهما علامة (=)، وهدفنا دائماً عزل المتغير س في طرف وحده. تخيّلها ميزاناً: أي عملية على طرف يجب أن تُجرى على الطرف الآخر ليبقى متوازناً. هذا الموضوع من أكثر المواضيع تكراراً في القسم الكمي، وسنغطّي المعادلات الخطية والتربيعية والمتطابقات والمتباينات بأدوات سريعة ليوم الاختبار.

طرفا المعادلة كفّتا ميزان: ما تفعله بأحدهما افعله بالآخر.

قاعدة قاعدة النقل (الترحيل): أي حد ينتقل من طرف إلى الطرف الآخر تنقلب إشارته.

الجمع ينقلب طرحاً، والطرح ينقلب جمعاً.
الضرب ينقلب قسمة، والقسمة تنقلب ضرباً، بشرط أن يكون على الطرف كله. فإن كان الطرف جمعاً أو طرحاً، فانقل الأعداد أولاً ثم اقسم على معامل المتغير.
ضع المتغيرات في طرف والأعداد في طرف، ثم اقسم على معامل المتغير.
عند وجود كسور: اضرب كل الحدود في المضاعف المشترك الأصغر للمقامات.

أخطاء شائعة في ٣س + ٧ = ٢٢ لا تنقل ٣ أولاً وتكتب س + ٧ = ٢٢ ÷ ٣، لأن ٣ مضروبة في س وحدها لا في الطرف كله. انقل ٧ أولاً: ٣س = ١٥، ثم اقسم على ٣: س = ٥.

أولاً: المعادلات الخطية (الدرجة الأولى)

المعادلة الخطية فيها متغير واحد بلا أُس، وحلّها قيمة واحدة عادةً.

ملاحظة قد يختفي المتغير من الطرفين أثناء الحل، فانظر إلى الجملة الباقية: إن كانت صحيحة مثل ٦ = ٦ فكل الأعداد حلول — كما في ٢(س + ٣) = ٢س + ٦؛ وإن كانت خاطئة مثل ١ = ٥ فلا حل للمعادلة — كما في ٢س + ١ = ٢س + ٥.

مثال محلول حل المعادلة: ٣س + ٧ = ٢٢

ننقل ٧ إلى الطرف الآخر فتصبح −٧: ٣س = ٢٢ − ٧ = ١٥.
نقسم الطرفين على ٣: س = ١٥ ÷ ٣ = ٥.
التحقق: ٣(٥) + ٧ = ١٥ + ٧ = ٢٢. صحيح.

مثال محلول معادلة فيها كسور: حل س٢ + س٣ = ٥

المضاعف المشترك الأصغر للمقامين ٢ و٣ هو ٦.
نضرب كل حد في ٦: ٣س + ٢س = ٣٠.
نجمع الحدود المتشابهة: ٥س = ٣٠، ثم نقسم على ٥: س = ٦.
التحقق: ٦ ÷ ٢ + ٦ ÷ ٣ = ٣ + ٢ = ٥. صحيح.

حيلة سريعة في مسائل الأعمار ترجم الكلمات إلى إشارات: «بعد» تعني (+) و«منذ» تعني (−). مثال: عمر سارة الآن س، وبعد ٦ سنوات يصير ٢٠ ← س + ٦ = ٢٠ ← س = ١٤. وتفصيل مسائل الأعمار الأصعب في درس «المسائل اللفظية في القسم الكمي».

ثانياً: المعادلات التربيعية (الدرجة الثانية)

المعادلة التربيعية فيها س^٢، وصورتها العامة: أس^٢ + بس + جـ = ٠، ولها غالباً حلّان.

س = −ب ± √ب^٢ − ٤أجـ٢أ

قاعدة المميّز يحدد عدد الحلول: المقدار تحت الجذر (ب^٢ − ٤أجـ) يسمى المميّز.

موجب ← حلّان مختلفان (مثل س^٢ − ٥س + ٦ = ٠).
يساوي صفراً ← حل واحد مكرر (مثل س^٢ + ٤س + ٤ = ٠ ومنه س = −٢).
سالب ← لا حل حقيقي (مثل س^٢ + ١ = ٠).

قاعدة طرق الحل الثلاث:

التحليل: ابحث عن عددين حاصل ضربهما = أ × جـ ومجموعهما = ب. (إذا كان أ = ١ فحاصل الضرب هو جـ نفسه.)
القانون العام: يصلح لأي معادلة تربيعية (بالأعلى).
الجذر التربيعي المباشر: إذا غاب الحد الأوسط (ب = ٠).

مثال محلول بالجذر المباشر: حل س^٢ − ٢٥ = ٠

ننقل ٢٥: س^٢ = ٢٥.
نأخذ الجذر التربيعي للطرفين، ولا تنسَ الإشارتين: س = ±√٢٥ = ±٥.
الحلّان: س = ٥ أو س = −٥.

مثال محلول بالتحليل: حل س^٢ − ٥س + ٦ = ٠

هنا أ = ١، فحاصل الضرب = أ × جـ = ٦. نبحث عن عددين حاصل ضربهما ٦ ومجموعهما −٥، وهما −٢ و−٣.
نكتب: (س − ٢)(س − ٣) = ٠.
ومنه س = ٢ أو س = ٣.

مثال محلول بالتحليل عندما أ ≠ ١: حل ٢س^٢ + ٧س + ٣ = ٠

هنا أ = ٢، ب = ٧، جـ = ٣. لو بحثنا عن عددين حاصل ضربهما جـ = ٣ ومجموعهما ٧ لما وجدنا! الصحيح: حاصل الضرب = أ × جـ = ٢ × ٣ = ٦، والمجموع = ٧.
العددان هما ٦ و١، فنكتب ٧س = ٦س + س: ٢س^٢ + ٦س + س + ٣ = ٠.
نأخذ عاملاً مشتركاً من كل زوج: ٢س(س + ٣) + ١(س + ٣) = ٠.
القوس (س + ٣) مشترك، فنكتب: (٢س + ١)(س + ٣) = ٠.
ومنه س = −١٢ أو س = −٣.
التحقق بـ س = −٣: ٢(−٣)^٢ + ٧(−٣) + ٣ = ١٨ − ٢١ + ٣ = ٠. صحيح.

أخطاء شائعة عند الجذر المباشر، كتابة الحل الموجب فقط ونسيان الحل السالب. الجذر التربيعي للطرفين يعطي دائماً إشارتين (±).

حيلة سريعة إن تعثّر التحليل فجرّب الخيارات مباشرة: في س^٢ − ٥س + ٦ = ٠ عوّض س = ٢ فتجد ٤ − ١٠ + ٦ = ٠، فهو حل. وتفصيل هذه الطريقة في درس «التعويض من الخيارات والتخمين الذكي».

ثالثاً: المتطابقات الجبرية

المتطابقات اختصارات تسرّع الحل، وتأتي كثيراً في القدرات لتوفير الوقت.

ضلع المربع = أ + ب، ومساحته = مجموع المساحات الأربع. المستطيلان أب متساويان، ومن هنا جاء الحد ٢أب.

قاعدة أهم المتطابقات:

فرق المربعين: أ^٢ − ب^٢ = (أ − ب)(أ + ب).
مربع المجموع: (أ + ب)^٢ = أ^٢ + ٢أب + ب^٢.
مربع الفرق: (أ − ب)^٢ = أ^٢ − ٢أب + ب^٢.

حيلة سريعة س^٢ + ص^٢ = (س + ص)^٢ − ٢سص. مفيدة جداً عندما يُعطى مجموع عددين وحاصل ضربهما.

أخطاء شائعة (س + ص)^٢ لا تساوي س^٢ + ص^٢ — لا تنسَ الحد الأوسط ٢سص.

مثال محلول احسب ١٠١^٢ − ٩٩^٢ بسرعة.

نستخدم فرق المربعين: (١٠١ − ٩٩)(١٠١ + ٩٩).
= ٢ × ٢٠٠ = ٤٠٠.

رابعاً: المتباينات

المتباينة مثل المعادلة لكن بدل (=) نستخدم < أو > أو ⁦≤⁩ أو ⁦≥⁩، وحلّها مجموعة قيم لا قيمة واحدة، نمثّلها على خط الأعداد.

الدائرة الممتلئة تعني أن −٣ داخل الحل (⁦≥⁩)، والتظليل يمتد نحو القيم الأكبر.

قاعدة القاعدة الذهبية — اعكس الإشارة: عند ضرب المتباينة أو قسمتها على عدد سالب يجب عكس اتجاه الإشارة.
مثال: −٢س > ٦ ← نقسم على −٢ ونعكس: س < −٣.

مثال محلول حل المتباينة: ٤ − ٣س ⁦≤⁩ ١٣

ننقل ٤: −٣س ⁦≤⁩ ٩.
نقسم على −٣ ونعكس الإشارة: س ⁦≥⁩ −٣.

أخطاء شائعة نسيان عكس الإشارة عند القسمة على سالب، فيكتب الطالب س > −٣ بدل س < −٣. الإشارة تنعكس فقط مع السالب، لا مع الموجب.

حيلة سريعة تحقق دائماً بالتعويض: ضع قيمة الحل في المعادلة أو المتباينة الأصلية وتأكد من صحة الجملة.

الخلاصة

المعادلة ميزان: أي عملية على طرف تُجرى على الطرف الآخر، والحد المنتقِل تنقلب إشارته.
الخطية: حل واحد عادةً بعزل المتغير. التربيعية: عدد حلولها يحدده المميّز (ب^٢ − ٤أجـ)، وتُحل بالتحليل أو القانون العام أو الجذر المباشر (±).
المتطابقات تختصر الوقت: فرق المربعين، ومربع المجموع/الفرق، وتذكّر الحد الأوسط ٢أب.
المتباينة حلّها مجموعة قيم، والقاعدة الذهبية: اعكس الإشارة عند القسمة/الضرب على سالب.
تحقق دائماً بالتعويض في المعادلة الأصلية.