المتتابعات والأنماط
المتتابعات والأنماط
المتتابعة مجموعة أرقام مرتبة وفق نمط ثابت، مثل ٢، ٥، ٨، ١١، ... حيث يزيد كل حد عن سابقه بمقدار ٣. هذا الموضوع من أكثر ما يتكرر في القدرات. وسنغطّي هنا المتتابعة الحسابية والهندسية، والأنماط الدورية، وزوايا عقارب الساعة، ومسائل الأعمدة، بأدوات سريعة تصلح ليوم الاختبار.
أولاً: المتتابعة الحسابية
الفرق بين كل حد والذي يليه ثابت، ويُرمز له بالحرف (د). في المتتابعة ٢، ٥، ٨، ١١ الفرق د = ٣ يتكرر عند كل قفزة.
الفرق الثابت (د = ٣) هو بصمة المتتابعة الحسابية.- الحد النوني: حن = ح١ + (ن − ١) × د
- المجموع: م = (ن ÷ ٢) × (الحد الأول + الحد الأخير)
- وحالة خاصة منه: مجموع الأعداد من ١ إلى ن = ن(ن + ١) ÷ ٢
- الفرق: د = أي حد − الحد الذي قبله
المتتابعة: ٣، ٧، ١١، ١٥، ... أوجد الحد العاشر ومجموع العشرة حدود.
- الحد الأول = ٣، والفرق د = ٧ − ٣ = ٤.
- الحد العاشر = ٣ + (١٠ − ١) × ٤ = ٣ + ٣٦ = ٣٩.
- المجموع = (١٠ ÷ ٢) × (٣ + ٣٩) = ٥ × ٤٢ = ٢١٠.
وبالحالة الخاصة: مجموع الأعداد من ١ إلى ١٠٠ = ١٠٠ × ١٠١ ÷ ٢ = ٥٠٥٠.
ثانياً: المتتابعة الهندسية ومجموعها
هنا تكون النسبة بين كل حد والذي قبله ثابتة، ويُرمز لها بالحرف (ر). فبدل الجمع نضرب في كل خطوة.
النسبة الثابتة (ر = ٣) تضرب كل حد للوصول إلى ما بعده.- الحد النوني: حن = ح١ × رن−١
- النسبة: ر = أي حد ÷ الحد الذي قبله
- مجموع أول ن حد: م = ح١ × (رن − ١) ÷ (ر − ١) حين ر ≠ ١
المتتابعة: ٢، ٦، ١٨، ٥٤، ... أوجد الحد السادس.
- الحد الأول = ٢، والنسبة ر = ٦ ÷ ٢ = ٣.
- الحد السادس = ٢ × ٣٦−١ = ٢ × ٣٥ = ٢ × ٢٤٣ = ٤٨٦.
ومجموع أول ٥ حدود من المتتابعة نفسها = ٢ × (٣٥ − ١) ÷ (٣ − ١) = ٢ × ٢٤٢ ÷ ٢ = ٢٤٢، وهو نفسه ٢ + ٦ + ١٨ + ٥٤ + ١٦٢.
ثالثاً: الأنماط الدورية
إذا تكرر النمط كل عدد ثابت من الخطوات (أيام، أشهر، خانة الآحاد) فالمفتاح هو القسمة وأخذ الباقي.
- التقويم: نتقدم (+١) لكل يوم بعده و(−١) لكل يوم قبله، ونقسم على ٧ للأسابيع أو ١٢ للأشهر ونأخذ الباقي.
- خانة آحاد القوى تتكرر كل ٤: اكتب أول أربع قوى للأساس نفسه، ثم اقسم الأس على ٤ وخذ الباقي. الباقي ١ يعني أول الدورة، و٢ ثانيها، و٣ ثالثها، أما الباقي ٠ فيعني آخرها. مثال: قوى ٢ آحادها ٢، ٤، ٨، ٦ ثم تتكرر.
إذا كان اليوم الأحد، فما اليوم بعد ٢٥ يوماً؟
- نقسم ٢٥ على ٧: الباقي = ٤.
- نتقدم ٤ أيام من الأحد: الاثنين، الثلاثاء، الأربعاء، الخميس.
- الجواب: الخميس.
ما رقم آحاد ٧٢٣؟
- اكتب أول أربع قوى للأساس ٧: ٧، ٤٩، ٣٤٣، ٢٤٠١. إذن دورة الآحاد هي ٧، ٩، ٣، ١.
- اقسم الأس على ٤: ٢٣ ÷ ٤ = ٥ والباقي ٣.
- الباقي ٣ يعني الرقم الثالث في الدورة: ٣.
وإذا كان الباقي صفراً فخذ آخر رقم في الدورة لا أولها: ٧٢٤ ← ٢٤ ÷ ٤ الباقي ٠ ← رقم الآحاد = ١.
رابعاً: زوايا عقارب الساعة
سؤال متكرر، وله قاعدة مباشرة تريحك من التخمين.
- الزاوية بين العقربين = |الساعات × ٣٠ − الدقائق × (١١ ÷ ٢)|
- كل ساعة على قرص الساعة = ٣٠°.
- عقرب الدقائق يتحرك ٦° في الدقيقة، وعقرب الساعات يتحرك ٠٫٥° فقط في الدقيقة. والفرق بينهما ٦ − ٠٫٥ = ٥٫٥° لكل دقيقة، وهو نفسه ١١ ÷ ٢ الذي في القاعدة أعلاه.
- إذا كان الناتج أكبر من ١٨٠° فاطرحه من ٣٦٠°، لأن المطلوب دائماً الزاوية الصغرى بين العقربين.
ما الزاوية بين عقربي الساعة عند الساعة ٣:٠٠ تماماً؟
- الزاوية = |٣ × ٣٠ − ٠ × (١١ ÷ ٢)| = |٩٠ − ٠|.
- الزاوية = ٩٠°.
هنا الدقائق صفر، فاختفى حدّ الدقائق كله. وهذه هي الحالة السهلة. جرّب الآن وقتاً بدقائق غير صفرية — الساعة ٤:٢٠:
- الزاوية = |٤ × ٣٠ − ٢٠ × ٥٫٥| = |١٢٠ − ١١٠|.
- الزاوية = ١٠°، وحدّ الدقائق هو الذي صنع الفرق.
ما الزاوية بين عقربي الساعة عند الساعة ٩:٠٠ تماماً؟
- الزاوية = |٩ × ٣٠ − ٠ × (١١ ÷ ٢)| = ٢٧٠°.
- ٢٧٠ أكبر من ١٨٠، فنطرحه من ٣٦٠: ٣٦٠ − ٢٧٠ = ٩٠°.
وبالطريقة نفسها عند الساعة ٢:٥٠: |٢ × ٣٠ − ٥٠ × (١١ ÷ ٢)| = |٦٠ − ٢٧٥| = ٢١٥°، وهو أكبر من ١٨٠، فالزاوية = ٣٦٠ − ٢١٥ = ١٤٥°.
خامساً: الأعمدة والأشجار
مسائل عدّ الأعمدة على طريق أو حول أرض تعتمد على تمييز الخط المفتوح من المسار المغلق.
في الخط المفتوح: ٣ فواصل ← ٤ أعمدة (فواصل + ١).خط مفتوح
عدد الأعمدة = (الطول الكلي ÷ المسافة البينية) + ١.
مسار مغلق
حول مزرعة أو دائرة: عدد الأعمدة = الطول ÷ المسافة البينية (بلا إضافة واحد).
على جانبي الطريق
احسب جانباً واحداً ثم اضرب × ٢. طريق ٦٠ م والمسافة ٥ م: (٦٠ ÷ ٥) + ١ = ١٣ لكل جانب، والمجموع ٢٦ عموداً.
قطع الحبل أو الجذع
القاعدة نفسها معكوسة: عدد القطوع = عدد القطع − ١. حبل ٢٠ م يُقطع كل ٤ م ← ٥ قطع و٤ قطوع.
عند السؤال عن الحد العاشر تذكّر أن (ن − ١) تساوي ٩ وليس ١٠.
خطأ: ٥ + ١٠ × ٣ = ٣٥. صواب: ٥ + (١٠ − ١) × ٣ = ٥ + ٢٧ = ٣٢.
عند رؤية أي متتابعة احسب الفرق أولاً: إن ثبت الفرق فهي حسابية، وإن ثبتت النسبة فهي هندسية، وإلا فهي أحد الأنماط التالية.
الفروق المتزايدة: ١، ٢، ٤، ٧، ١١، ... ما الحد التالي؟
- اكتب الفروق تحت المتتابعة: ١، ٢، ٣، ٤. الفرق غير ثابت، لكنه يزيد ١ في كل خطوة.
- الفرق التالي = ٥، فالحد التالي = ١١ + ٥ = ١٦.
والطريقة باختصار: اكتب الفروق تحت المتتابعة، فإن لم تثبت فاكتب فروق الفروق. وهذا أكثر نمط يظهر في القدرات بعد الحسابية والهندسية، فجرّبه قبل أن تفكر في فيبوناتشي.
المربعات
١، ٤، ٩، ١٦، ٢٥ ... أي ن٢، والفروق بينها أعداد فردية متتالية.
المكعبات
١، ٨، ٢٧، ٦٤ ... أي ن٣.
فيبوناتشي
١، ١، ٢، ٣، ٥، ٨ ... كل حد مجموع الحدين اللذين قبله.
النمط الدوري
يتكرر كل عدد ثابت من الخطوات، فيُحَل بالقسمة وأخذ الباقي كما في «ثالثاً».
سادساً: مسائل التقويم وقسمة الأيام
هذا أكثر الأنماط تكراراً في القسم الكمي: يبدأ حدثٌ في يوم معلوم ويستمر مدةً، والمطلوب اليوم الذي ينتهي فيه. والحل خطوتان فقط: حدّد مقدار التقدّم حسب صيغة السؤال، ثم اقسمه على ٧ وخذ الباقي.
- اقرأ صيغة السؤال قبل الحساب: كلمة «بعد» تبدأ العدّ من الغد، فيوم البداية غير محسوب ونتقدّم العدد كاملاً.
- أما «يستمر» أو «يكفي» فيوم البداية محسوبٌ ضمن المدة، واليوم الأول هو يوم البداية نفسه، فنتقدّم (عدد الأيام − ١).
«بعد ن يوماً» ← بلا طرح
اليوم الأحد، فما اليوم بعد ٢٥ يوماً؟
التقدّم = ٢٥ كاملة. ٢٥ ÷ ٧ الباقي ٤، فنتقدّم ٤ أيام عن الأحد فنصل إلى الخميس.
«يستمر ن يوماً» ← بطرح ١
دواءٌ يبدأ يوم الخميس ويكفي ١٢ يوماً، فمتى ينتهي؟
التقدّم = ١٢ − ١ = ١١. ١١ ÷ ٧ الباقي ٤، فنتقدّم ٤ أيام عن الخميس فنصل إلى الاثنين.
أعطى طبيبٌ مريضاً دواءً يوم الخميس، وأخبره أن يأخذ ٣ حبات كل يوم، وعدد حبات الدواء ٣٦ حبة. في أي يوم ينتهي الدواء؟
- عدد الأيام = ٣٦ ÷ ٣ = ١٢ يوماً.
- اليوم الأول هو الخميس نفسه، فالتقدّم = ١٢ − ١ = ١١ يوماً.
- ١١ ÷ ٧ = ١ والباقي ٤، فنتقدّم ٤ أيام عن الخميس.
- الخميس ثم الجمعة ثم السبت ثم الأحد ثم الاثنين.
دورة الأسبوع ٧، فكل مضاعف لـ ٧ يعيدك إلى اليوم نفسه: بعد ٧ أيام أو ١٤ أو ٢١ يبقى اليوم كما هو. اطرح أكبر مضاعف لـ ٧ واعمل بالباقي وحده.
الخطأ الأشهر في مسائل «يستمر»: التقدّم ١٢ يوماً بدل ١١، فيخرج الجواب الثلاثاء بدل الاثنين — وهو دائماً أحد الخيارات المطروحة.
وخطأ آخر: قسمة ٣٦ على ٧ مباشرة. المدة تُقاس بالأيام لا بالحبات، فاحسب الأيام أولاً.
الخلاصة
- حسابية: فرق ثابت (د)، والحد النوني حن = ح١ + (ن − ١) × د.
- هندسية: نسبة ثابتة (ر)، والحد النوني حن = ح١ × رن−١، ومجموع أول ن حد = ح١ × (رن − ١) ÷ (ر − ١).
- إن لم يثبت الفرق ولا النسبة فاكتب الفروق تحت المتتابعة (الفروق المتزايدة)، ثم فكّر في المربعات والمكعبات وفيبوناتشي.
- الأنماط الدورية تُحَل بالقسمة وأخذ الباقي (٧ للأيام، ٤ لخانة الآحاد).
- زاوية الساعة = |الساعات × ٣٠ − الدقائق × (١١ ÷ ٢)|، وإذا زاد الناتج عن ١٨٠° فاطرحه من ٣٦٠°.
- الأعمدة: خط مفتوح = الفواصل + ١، ومسار مغلق = الفواصل بلا زيادة، وعلى الجانبين × ٢، وعدد القطوع = عدد القطع − ١.
- مسائل التقويم: «بعد ن يوماً» تقدّم ن كاملاً، و«يستمر ن يوماً» تقدّم ن − ١، ثم خذ الباقي على ٧.
تابع قراءة «المتتابعات والأنماط» مع البريميوم
مجموعة من الدروس التأسيسية متاحة مجاناً تجربةً للمنصة. باقي الدروس والاختبارات الكاملة تفتح مع الاشتراك.