كميبريميوم٦ من ٣١

المثلثات وفيثاغورس

المثلث من أكثر الأشكال تكراراً في القسم الكمي، وقوانينه قليلة ومضبوطة، فإتقانها يعني درجات مضمونة. سنغطّي المساحة، ونظرية فيثاغورس، والمثلثات الخاصة، والزوايا، والتشابه والتطابق — كلٌّ منها بأمثلة عملية ورسومات توضيحية.

أولاً: المساحة

قاعدة مساحة أي مثلث = نصف القاعدة في الارتفاع. والارتفاع هو العمود النازل من الرأس على القاعدة، وليس الضلع المائل.

المساحة = ½ × ق × ع

الارتفاع ع عمودي على القاعدة ق (لاحظ زاوية ٩٠°). أحياناً يقع الارتفاع خارج المثلث، فأنزل العمود على امتداد القاعدة (الخط المتقطّع)، والقانون نفسه لا يتغيّر: قاعدة ٧ وارتفاع ٤ ← المساحة = ½ × ٧ × ٤ = ١٤.

ملاحظة المثلث المتطابق الأضلاع (طول الضلع = ل): المساحة = (√٣ ÷ ٤) × ل^٢، والارتفاع = (√٣ ÷ ٢) × ل.

ثانياً: نظرية فيثاغورس

قاعدة في المثلث القائم الزاوية فقط: مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين القائمين. والوتر هو الضلع الأطول المقابل للزاوية القائمة (٩٠°).

الوتر^٢ = أ^٢ + ب^٢

الوتر يقابل الزاوية القائمة، وهو دائماً أطول الأضلاع.

حيلة سريعة احفظ الثلاثيات الفيثاغورية لتوفّر عليك الحساب: (٣، ٤، ٥) و(٥، ١٢، ١٣) و(٧، ٢٤، ٢٥). ومضاعفاتها صحيحة أيضاً، فاقسم على العامل المشترك أولاً لتظهر لك الثلاثية: (٦، ٨، ١٠) و(٩، ١٢، ١٥) و(١٫٥، ٢، ٢٫٥) كلها بنسبة ٣ : ٤ : ٥، و(١٠، ٢٤، ٢٦) بنسبة ٥ : ١٢ : ١٣.

ثالثاً: المثلثات الخاصة

مثلثان يتكرران كثيراً في الاختبار، وحفظ نسبهما يوفّر عليك حساب الجذور.

القائم المتساوي الساقين (٤٥–٤٥–٩٠)

الزاويتان ٤٥° و٤٥°، والوتر = الضلع × √٢. مثال: ضلع ٥ ← وتر ٥√٢.

نصف المتطابق (٣٠–٦٠–٩٠)

المقابل لـ٣٠° = ½ × الوتر.
المقابل لـ٦٠° = ½ × الوتر × √٣.
فإن كان الوتر ١٠: المقابل لـ٣٠ = ٥، والمقابل لـ٦٠ = ٥√٣.

نسب الأضلاع: ٤٥–٤٥–٩٠ ← ١ : ١ : √٢، و٣٠–٦٠–٩٠ ← ١ : √٣ : ٢.

رابعاً: الزوايا

قاعدة مجموع زوايا أي مثلث = ١٨٠°.

حيلة سريعة متباينة المثلث: طول أي ضلع أصغر من مجموع الضلعين الآخرين وأكبر من الفرق بينهما. فإن كان ضلعان ٣ و٧، فالثالث بين ٤ و١٠ حصراً.

خامساً: التشابه والتطابق

التطابق

مثلثان متساويان تماماً. يكفي أن تتحقق إحدى الحالات: ض ض ض (SSS)، ض ز ض (SAS)، ز ض ز (ASA)، ز ز ض (AAS).

التشابه

نفس الشكل بأحجام مختلفة: الزوايا متساوية والأضلاع المتناظرة متناسبة. وعند التشابه: نسبة المساحات = (نسبة الأطوال)^٢.

تنبيه حالتان لا تُثبتان التطابق: ز ز ز — تساوي الزوايا الثلاث يعطي تشابهاً فقط (مثلث أضلاعه ٣، ٤، ٥ وآخر أضلاعه ٦، ٨، ١٠ متشابهان لا متطابقان)، وض ض ز حين تكون الزاوية غير محصورة بين الضلعين.

سادساً: تصنيف المثلث من أضلاعه أو زواياه

سؤال «ما نوع المثلث؟» يأتي بثلاث صور: تُعطى الأضلاع ويُطلب التصنيف بالأضلاع، أو تُعطى الزوايا ويُطلب التصنيف بالزوايا، أو تُعطى الأضلاع ويُطلب التصنيف بالزوايا. والصورة الثالثة هي الأكثر خداعاً، ولها قاعدة خاصة.

قاعدة

بالأضلاع: ثلاثة متساوية ← متطابق الأضلاع، واثنان متساويان ← متطابق الضلعين (ويُسمّى أيضاً متساوي الساقين)، ولا تساوي ← مختلف الأضلاع.
بالزوايا: النوع تحدّده أكبر زاوية وحدها: أكبر من ٩٠° ← منفرج، وتساوي ٩٠° ← قائم، وأقل ← حاد الزوايا.
بالزوايا وأنت لا تملك إلا الأضلاع (عكس فيثاغورس): قارن مربع أطول ضلع بمجموع مربعي الضلعين الآخرين: أكبر ← منفرج، ويساوي ← قائم، وأصغر ← حاد.

مثال محلول ما نوع المثلث الذي أطوال أضلاعه ٢، ٢، ٣؟

ضلعان متساويان (٢ و٢) والثالث مختلف، فهو بالأضلاع متطابق الضلعين.
وإن طُلب نوعه بالزوايا: أطول ضلع ٣، و٣^٢ = ٩، ومجموع مربعي الآخرين ٢^٢ + ٢^٢ = ٨.
٩ أكبر من ٨، إذن هو منفرج الزاوية أيضاً.

مثال محلول ما نوع المثلث الذي أطوال أضلاعه ٦، ٨، ١٠ بحسب زواياه؟

أطول ضلع ١٠، ومربعه ١٠^٢ = ١٠٠.
مجموع مربعي الضلعين الآخرين: ٦^٢ + ٨^٢ = ٣٦ + ٦٤ = ١٠٠.
تساوى الطرفان، إذن المثلث قائم الزاوية (وهي الثلاثية ٦، ٨، ١٠). ولو اكتفيت بالنظر إلى الأضلاع لقلت «مختلف الأضلاع» وضاعت عليك الدرجة.

مثال محلول مثلث إحدى زواياه ١٠٠° والزاويتان الأخريان متساويتان، ما نوعه؟

الزاويتان الأخريان = (١٨٠ − ١٠٠) ÷ ٢ = ٤٠° لكلٍّ منهما.
أكبر زاوية ١٠٠° وهي أكبر من ٩٠°، فالمثلث منفرج الزاوية.

أخطاء شائعة

لأن الزاويتين متساويتان فهو أيضاً متطابق الضلعين، لكن السؤال يطلب التصنيف بالزوايا فالجواب «منفرج». انتبه إلى نوع التصنيف المطلوب. وإذا طُلبت الزوايا ولم تُعطَ إلا الأضلاع، فاستعمل عكس فيثاغورس ولا تجب بـ«مختلف الأضلاع».

سابعاً: الزاوية الخارجية

الزاوية الخارجية عند رأس هي متكاملة مع الزاوية الداخلية عنده، وتساوي مجموع الزاويتين الداخليتين البعيدتين عنها. وعند كل رأس زاويتان خارجيتان متطابقتان، فالقياسات المختلفة ثلاثة فقط، وأي قياس آخر مستحيل.

الزاوية الخارجية = الزاويتان أ + ب (البعيدتان عنها).

الزاوية الخارجية = ١٨٠° − الزاوية الداخلية المجاورة

مثال محلول إذا كان قياس زاويتي مثلث ٤٠° و١١٠°، فأوجد قياسات زواياه الخارجية الثلاث، ثم بيّن لماذا يستحيل أن تكون إحداها ١٦٠°.

الزاوية الثالثة = ١٨٠ − (٤٠ + ١١٠) = ٣٠°.
الزوايا الخارجية الثلاث: ١٨٠ − ٤٠ = ١٤٠°، و١٨٠ − ١١٠ = ٧٠°، و١٨٠ − ٣٠ = ١٥٠°.
فالزوايا الخارجية هي ١٤٠° و٧٠° و١٥٠° فقط، و١٦٠° مستحيلة لأنها تحتاج زاوية داخلية قياسها ١٨٠ − ١٦٠ = ٢٠°، ولا توجد زاوية بهذا القياس في المثلث.

حيلة سريعة احسب الزاوية الثالثة أولاً دائماً، ثم اطرح كل زاوية من ١٨٠. الخيار الذي لا يظهر في قائمتك هو الجواب.

ثامناً: شكلان لهما المحيط نفسه

حين يشترك شكلان في المحيط لا تفترض تساوي شيء آخر: احسب الضلع أو المساحة صراحةً.

مثال محلول مثلث ومربع لهما المحيط نفسه، وأطوال أضلاع المثلث (٧، ٨، ٩). قارن بين طول ضلع المربع و ٨ سم.

محيط المثلث = ٧ + ٨ + ٩ = ٢٤ سم، وهو محيط المربع نفسه.
ضلع المربع = ٢٤ ÷ ٤ = ٦ سم.
٦ أصغر من ٨، إذن القيمة الثانية أكبر.

أخطاء شائعة

اختيار ٨ لأنه ضلع المثلث الأوسط. المطلوب ضلع المربع المحسوب من المحيط، لا ضلع المثلث.

تاسعاً: مثال شامل

مثال محلول مثلث قائم الزاوية، طول ضلعيه القائمين ٦ و٨. أوجد الوتر والمساحة.

بفيثاغورس: الوتر^٢ = ٦^٢ + ٨^٢ = ٣٦ + ٦٤ = ١٠٠، إذن الوتر = ١٠ (وهي الثلاثية ٦، ٨، ١٠).
في المثلث القائم نأخذ الضلعين القائمين كقاعدة وارتفاع: المساحة = ½ × ٦ × ٨ = ٢٤.

أخطاء شائعة قبل تطبيق فيثاغورس تأكد أن المثلث قائم الزاوية — لا تطبّقها على أي مثلث. ولا تخلط بين الوتر والضلع المائل المقابل لزاوية غير قائمة. واحفظ الثلاثيات والمثلثين الخاصين لتتجنّب حسابات الجذور الطويلة.

الخلاصة

مساحة أي مثلث = ½ × القاعدة × الارتفاع، والارتفاع عمودي على القاعدة.
فيثاغورس للمثلث القائم فقط: الوتر^٢ = أ^٢ + ب^٢، واحفظ الثلاثيات (٣،٤،٥) و(٥،١٢،١٣) و(٧،٢٤،٢٥).
المثلثات الخاصة: ٤٥–٤٥–٩٠ نسبها ١:١:√٢، و٣٠–٦٠–٩٠ نسبها ١:√٣:٢.
مجموع الزوايا ١٨٠°، والزاوية الخارجية = مجموع الداخليتين البعيدتين، والضلع الثالث محصور بين فرق الضلعين ومجموعهما.
في المثلثات المتشابهة: نسبة المساحات = مربع نسبة الأطوال.
النوع بالزوايا تحدّده أكبر زاوية وحدها، وإن لم تُعطَ إلا الأضلاع فقارن مربع أطولها بمجموع مربعي الآخرين؛ وقياسات الزوايا الخارجية ثلاثة فقط = ١٨٠° − كل زاوية داخلية.

تابع قراءة «المثلثات وفيثاغورس» مع البريميوم

مجموعة من الدروس التأسيسية متاحة مجاناً تجربةً للمنصة. باقي الدروس والاختبارات الكاملة تفتح مع الاشتراك.