الكسور والتقريب
الكسور والتقريب
الكسور والأعداد العشرية من أكثر المواضيع تكرارًا في القدرات. في هذا الدرس نتعلّم العمليات على الكسور، والمقارنة بينها، وتحويلها إلى أعداد عشرية. ثم نتدرّب على التقريب والتقدير السريع الذي يوفّر عليك ثوانٍ ثمينة في كل سؤال.
أولًا: أنواع الكسور والتحويل
٣٤ — البسط أصغر من المقام.
٧٤ — البسط أكبر من المقام أو يساويه.
١٣٤ — عدد صحيح مع كسر.
حوّل ١٢٣ إلى كسر غير فعلي.
- الصحيح × المقام = ١ × ٣ = ٣.
- نضيف البسط: ٣ + ٢ = ٥.
- نضعه فوق المقام نفسه: ٥٣.
ثانيًا: العمليات على الكسور
الجمع والطرح: نوحّد المقامات أولًا، ثم نجمع (أو نطرح) البسطين مع إبقاء المقام.
الضرب: بسط × بسط، ومقام × مقام.
القسمة: نقلب الكسر الثاني ثم نضرب. وانتبه: القسمة على كسر أصغر من واحد تعطي ناتجًا أكبر من العدد الأصلي — وهذا عكس ما يتوقعه معظم الطلاب.
٢٣ + ١٤ = ٨١٢ + ٣١٢ = ١١١٢
٣٤ − ١٦ = ٩١٢ − ٢١٢ = ٧١٢ (المقام المشترك ١٢، وليس ٢٤)
٢٣ × ٤٥ = ٨١٥
٢٣ ÷ ٤٥ = ٢٣ × ٥٤ = ١٠١٢ = ٥٦ (نقسم على ٢)
وهنا تظهر فائدة تحويل العدد الكسري: احسب ٢١٢ × ١١٣
- نحوّل كل عدد كسري إلى كسر غير فعلي: ٥٢ × ٤٣.
- نبسّط قبل الضرب: ٤ و٢ يقبلان القسمة على ٢ ← ٥١ × ٢٣.
- نضرب: ١٠٣ = ٣١٣.
طريقة المقص (الضرب التقاطعي) للمقارنة والجمع بين سص و عن:
للمقارنة: نضرب تقاطعيًا، فالكسر صاحب الناتج الأكبر هو الأكبر (س×ن مقابل ع×ص). مثال: قارن ٣٥ و ٢٧ ← ٣×٧ = ٢١ مقابل ٥×٢ = ١٠، وبما أن ٢١ أكبر فإن ٣٥ أكبر.
للجمع: سص + عن = س×ن + ص×عص×ن، مثل ٣٥ + ٢٧ = ٢١ + ١٠٣٥ = ٣١٣٥.
ناتج الجمع بالمقص يحتاج غالبًا إلى تبسيط، لأن المقام (ص×ن) ليس دائمًا أصغر مقام مشترك. مثال: ١٤ + ١٤ بالمقص = ٨١٦ = ١٢. فإذا لم تجد ناتجك بين الخيارات، بسّطه أولًا.
وطريقتان أسرع من المقص للمقارنة:
- البسط نفسه: إذا تساوى البسطان فصاحب المقام الأصغر هو الأكبر — ١٧ أكبر من ١٩، لأن القسمة على عدد أصغر تعطي نصيبًا أكبر.
- القرب من الواحد: انظر كم ينقص كل كسر ليصل إلى ١. ٧٨ ينقصه ١٨، و٩١٠ ينقصه ١١٠، وبما أن ١١٠ أصغر فإن ٩١٠ أقرب إلى ١ وهو الأكبر.
أما ترتيب ثلاثة كسور أو أكثر فأسرع طريق فيه تحويل كل كسر إلى عشري من جدول الكسور الشهيرة (في القسم التالي)، لأن المقص يقارن كسرين فقط في المرة الواحدة.
ثالثًا: الكسور والأعداد العشرية
الكسر الاعتيادي (مثل ٣٤) والكسر العشري (مثل ٠٫٧٥) وجهان لقيمة واحدة، والتحويل بينهما سريع.
من كسر إلى عشري: اقسم البسط على المقام. مثال: ٥٨ ← ٥ ÷ ٨ = ٠٫٦٢٥. وأسرع منها في القدرات: اجعل المقام ١٠ أو ١٠٠، مثل ٧٢٠ = ٣٥١٠٠ = ٠٫٣٥.
من عشري إلى كسر: اكتب ما بعد الفاصلة فوق ١٠ أو ١٠٠ أو ١٠٠٠ بعدد المنازل، ثم بسّط. مثال: ٠٫٤ = ٤١٠ = ٢٥، و٠٫١٢ = ١٢١٠٠ = ٣٢٥.
| الكسر | عشري | نسبة مئوية |
|---|---|---|
| ١٢ | ٠٫٥ | ٥٠٪ |
| ١٣ | ≈ ٠٫٣٣ | ≈ ٣٣٫٣٪ |
| ١٤ | ٠٫٢٥ | ٢٥٪ |
| ١٥ | ٠٫٢ | ٢٠٪ |
| ١٨ | ٠٫١٢٥ | ١٢٫٥٪ |
| ٣٤ | ٠٫٧٥ | ٧٥٪ |
الضرب في ١٠ أو ١٠٠ أو ١٠٠٠: نحرّك الفاصلة العشرية إلى اليمين بعدد الأصفار.
القسمة على ١٠ أو ١٠٠ أو ١٠٠٠: نحرّك الفاصلة إلى اليسار بعدد الأصفار.
مثال: ٣٫٤٥ × ١٠٠ = ٣٤٥، و ٣٫٤٥ ÷ ١٠ = ٠٫٣٤٥.
رابعًا: التقريب والتقدير
كثير من أسئلة القدرات لا تحتاج حسابًا دقيقًا؛ والتقريب يوفّر وقتًا ثمينًا ويقودك مباشرة إلى أقرب خيار.
قدّر ناتج: ٤٩٫٨ × ٢٠٫٣
- نقرّب كل عدد: ٤٩٫٨ ≈ ٥٠ و ٢٠٫٣ ≈ ٢٠.
- نضرب المقرَّبين: ٥٠ × ٢٠ = ١٠٠٠ تقريبًا.
- القيمة الدقيقة = ١٠١٠٫٩٤، فنختار أقرب إجابة إلى ١٠٠٠.
قدّر ناتج: ٣٩٫٧ × ٤٩٫٦
- نقرّب كل عدد: ٣٩٫٧ ≈ ٤٠ و ٤٩٫٦ ≈ ٥٠.
- نضرب المقرَّبين: ٤٠ × ٥٠ = ٢٠٠٠ تقريبًا.
- لاحظ أننا زدنا العددين معًا، فالقيمة الحقيقية أصغر من ٢٠٠٠ (وهي ١٩٦٩٫١٢).
قدّر: (٣٫٠٩ × ٠٫٣٣٣) ÷ (١٫٠١ × ٤٫٩٤)
- نقرّب: ٣٫٠٩ ≈ ٣، و ٠٫٣٣٣ ≈ ١٣، و ١٫٠١ ≈ ١، و ٤٫٩٤ ≈ ٥.
- البسط: ٣ × ١٣ = ١، والمقام: ١ × ٥ = ٥.
- الناتج ≈ ١ ÷ ٥ = ١٥.
خامسًا: حيل الحساب الذهني
- الضرب في ٥ = القسمة على ٢ ثم الضرب في ١٠ (مثال: ٤٨ × ٥ = ٢٤ × ١٠ = ٢٤٠).
- الضرب في ٢٥ = القسمة على ٤ ثم الضرب في ١٠٠ (مثال: ٣٢ × ٢٥ = ٨ × ١٠٠ = ٨٠٠).
- الضرب في ١١ لعددٍ من رقمين = اكتب رقميه وضع مجموعهما بينهما (مثال: ٢٣ × ١١ ← ٢ ثم (٢+٣) ثم ٣ = ٢٥٣). وإذا كان مجموع الرقمين ١٠ أو أكثر، اكتب آحاد المجموع في المنتصف وأضف ١ إلى رقم العشرات (مثال: ٨٧ × ١١ ← ٨ + ٧ = ١٥، فنكتب ٥ في المنتصف ونضيف ١ إلى ٨ فتصير ٩ ← ٩٥٧).
- بسّط الكسور قبل الضرب لتقليل حجم الأرقام.
- جمع البسط مع البسط والمقام مع المقام مباشرة: الصواب ١٥ + ٣٥ = ٤٥ وليس ٤١٠، و ٢٣ + ١٤ ≠ ٣٧.
- نسيان قلب الكسر الثاني عند القسمة.
- عدم التبسيط قبل الضرب، فتكبر الأرقام دون داعٍ.
الخلاصة
- حوّل العدد الكسري إلى كسر غير فعلي بالقاعدة: (الصحيح × المقام) + البسط، فوق المقام.
- الجمع/الطرح يحتاج توحيد المقامات؛ الضرب مباشر؛ القسمة = قلب الثاني ثم ضرب.
- الضرب التقاطعي (المقص) طريق سريع للمقارنة وللجمع، لكن بسّط ناتج الجمع دائمًا قبل مطابقته بالخيارات.
- بسّط الكسر بالقسمة على القاسم المشترك الأكبر، وحوّله إلى عشري بقسمة البسط على المقام (أو بجعل المقام ١٠ أو ١٠٠).
- احفظ الكسور الشهيرة ومكافئاتها العشرية/المئوية لتسريع التقدير.
- قرّب الأعداد قبل الحساب واختر أقرب خيار؛ فأغلب الأسئلة لا تطلب الدقّة التامة.
تابع قراءة «الكسور والتقريب» مع البريميوم
مجموعة من الدروس التأسيسية متاحة مجاناً تجربةً للمنصة. باقي الدروس والاختبارات الكاملة تفتح مع الاشتراك.