كميبريميوم٢ من ٣١
النسبة المئوية
النسبة المئوية
النسبة المئوية من أكثر المواضيع تكراراً في القسم الكمي، وأغلب أسئلتها تُحلّ ذهنياً. سنبني المهارة خطوة بخطوة:
- المفهوم، ثم الزيادة والنقصان، ثم الربح والخسارة.
- ثم التغييرات المتتالية وفخّها الشهير، وإيجاد القيمة الأصلية، وحيلة الـ١٠٪، وأخيراً اختيار الأساس الصحيح.
أولاً: ما هي النسبة المئوية؟
النسبة المئوية تعني «من كل ١٠٠». فمثلاً ٢٥٪ تعني ٢٥ من كل ١٠٠، أي ٢٥١٠٠ = ٠٫٢٥ = ١٤.
٢٥٪ = ٢٥ خلية من أصل ١٠٠ = ربع المربعقاعدة الصيغ الثلاث الأساسية، وكل واحدة منها إعادة ترتيب للأولى — احفظ الأولى فقط:
النسبة المئوية = (الجزء ÷ الكل) × ١٠٠
الجزء = (النسبة × الكل) ÷ ١٠٠
الكل = (الجزء × ١٠٠) ÷ النسبة
ثانياً: الزيادة والنقصان المئوية
قاعدة القيمة بعد زيادة بنسبة ن تساوي القيمة الأصلية × (١ + ن)، والقيمة بعد نقصان بنسبة ن تساوي القيمة الأصلية × (١ − ن)، حيث ن = النسبة ككسر عشري (٢٠٪ = ٠٫٢).
مثال محلول سعر جوال ٢٠٠٠ ريال زاد بنسبة ١٥٪. ما السعر الجديد؟
- عامل الزيادة = ١ + ٠٫١٥ = ١٫١٥.
- السعر الجديد = ٢٠٠٠ × ١٫١٥ = ٢٣٠٠ ريال.
مثال محلول تخفيض ٣٠٪ على حذاء سعره ٤٠٠ ريال. ما السعر بعد التخفيض؟
- عامل النقصان = ١ − ٠٫٣٠ = ٠٫٧٠.
- السعر الجديد = ٤٠٠ × ٠٫٧٠ = ٢٨٠ ريال.
ثالثاً: الربح والخسارة
قاعدة نسبة الربح٪ = (الربح ÷ سعر الشراء) × ١٠٠، ونسبة الخسارة٪ = (الخسارة ÷ سعر الشراء) × ١٠٠. ولإيجاد سعر البيع اضرب في العامل: سعر البيع = سعر الشراء × (١ + نسبة الربح ÷ ١٠٠)، أي أن ربح ٢٥٪ يعني الضرب في ١٫٢٥، وخسارة ٢٥٪ تعني الضرب في ٠٫٧٥. والنسبة تُحسب دائماً من سعر الشراء لا سعر البيع.
مثال محلول اشترى تاجر بضاعة بـ ٨٠٠ ريال وباعها بـ ١٠٠٠ ريال. ما نسبة الربح؟
- الربح = ١٠٠٠ − ٨٠٠ = ٢٠٠.
- نسبة الربح = (٢٠٠ ÷ ٨٠٠) × ١٠٠ = ٢٥٪.
مثال محلول اشترى تاجر سلعة بـ ٦٠٠ ريال، ويريد أن يربح ٢٠٪. بكم يبيعها؟
- عامل البيع = ١ + (٢٠ ÷ ١٠٠) = ١٫٢.
- سعر البيع = ٦٠٠ × ١٫٢ = ٧٢٠ ريالاً.
رابعاً: التغييرات المتتالية
من أهم الأفكار وأكثرها تكراراً، وفيها فخّ شائع: تطبيق تغييرين متتاليين لا يساوي جمعهما، لأن التغيير الثاني يُحسب على الناتج بعد الأول لا على القيمة الأصلية.
النتيجة = القيمة × (١ ± ن١) × (١ ± ن٢)
حيلة سريعة لصافي التغيّر مباشرة، حيث أ و ب هما النسبتان بالمئة:
- زيادتان: الصافي = (أ + ب) + (أ × ب ÷ ١٠٠)
- تخفيضان: الصافي = −(أ + ب) + (أ × ب ÷ ١٠٠)
- واحدة زيادة والأخرى تخفيض: الصافي = (نسبة الزيادة − نسبة التخفيض) − (حاصل ضربهما ÷ ١٠٠)
مثال محلول راتب زاد ١٠٪ ثم زاد ٢٠٪. ما صافي الزيادة؟
- الصافي = (١٠ + ٢٠) + (١٠ × ٢٠ ÷ ١٠٠) = ٣٠ + ٢ = ٣٢٪ زيادة.
- تحقق: ١٠٠ × ١٫١ × ١٫٢ = ١٣٢ ✓
مثال محلول سلعة خُفّضت ٢٠٪ ثم خُفّضت ٣٠٪. ما صافي التخفيض؟
- الصافي = −(٢٠ + ٣٠) + (٢٠ × ٣٠ ÷ ١٠٠) = −٥٠ + ٦ = −٤٤٪ أي نقصان ٤٤٪.
- تحقق: ١٠٠ × ٠٫٨ × ٠٫٧ = ٥٦ ← نقص ٤٤ ✓
مثال محلول سعر خُفّض ٢٠٪ ثم زِيد ٢٥٪. ما صافي التغيّر؟
- الزيادة ٢٥ والتخفيض ٢٠ (لا يهم أيهما جاء أولاً)، فالصافي = (٢٥ − ٢٠) − (٢٥ × ٢٠ ÷ ١٠٠) = ٥ − ٥ = ٠٪.
- تحقق: ١٠٠ × ٠٫٨ × ١٫٢٥ = ١٠٠ ✓ — احفظها: تخفيض ٢٠٪ يحتاج زيادة ٢٥٪ ليعود السعر كما كان.
الفخّ الشهير: زيادة ٢٠٪ ثم نقصان ٢٠٪
سعر ١٠٠ ريال زاد ٢٠٪ ثم خُفّض ٢٠٪. هل يعود إلى أصله؟ الحدس يقول نعم، لكن النقصان يُحسب على قيمة أكبر، فالنتيجة أقل من الأصل دائماً.
العمود الأخير أقصر من مستوى البداية بمقدار ٤: صافي التغيّر نقصان ٤٪ دائماًمثال محلول نعود إلى السعر ١٠٠ ريال: زيادة ٢٠٪ ثم نقصان ٢٠٪.
- بالقانون السريع: الصافي = (٢٠ − ٢٠) − (٢٠ × ٢٠ ÷ ١٠٠) = ٠ − ٤ = −٤٪.
- تحقق: ١٠٠ × ١٫٢ × ٠٫٨ = ٩٦ ← خسارة ٤ ريالات.
خامساً: إيجاد القيمة الأصلية
إذا أعطوك القيمة بعد التغيير وطلبوا الأصل، اقسم على عامل التغيير ولا تطرح أو تضف.
الأصل = القيمة بعد التغيير ÷ (١ ± ن)
مثال محلول بعد تخفيض ٢٠٪ صار سعر جاكيت ٣٢٠ ريالاً. ما السعر الأصلي؟
- ٣٢٠ = س × ٠٫٨٠.
- س = ٣٢٠ ÷ ٠٫٨٠ = ٤٠٠ ريال.
أخطاء شائعة لا تُضِف ٢٠٪ من ٣٢٠ (= ٦٤) لتحصل على ٣٨٤؛ هذا خطأ لأن الخصم حُسب على الأصل (٤٠٠) لا على السعر المخفّض (٣٢٠).
سادساً: حيلة الـ١٠٪
إيجاد ١٠٪ سهل جداً: انقل الفاصلة العشرية خانة واحدة لليسار (اقسم على ١٠)، ثم ابنِ أي نسبة أخرى ذهنياً منها.
١٠٪ من ٨٤٠ = ٨٤
الأساس الذي نبني عليه
الأساس الذي نبني عليه
٥٪ = نصف الـ١٠٪ = ٤٢
و ٢٠٪ = ضعفه = ١٦٨
و ٢٠٪ = ضعفه = ١٦٨
١٥٪ = ١٠٪ + ٥٪
٨٤ + ٤٢ = ١٢٦
٨٤ + ٤٢ = ١٢٦
و ١٪ = اقسم على ١٠٠ (انقل الفاصلة خانتين) = ٨٫٤، ومنها ٠٫٥٪ = نصف الـ١٪ = ٤٫٢، و ٠٫٧٪ = ٠٫٧ × الـ١٪ = ٥٫٨٨.
أخطاء شائعة ٠٫٧٪ ليست ٧٪، بل عُشرها. الخلط بينهما يضاعف الجواب عشر مرات، وهو من أشهر الأخطاء في أسئلة النسب الصغيرة.
مثال محلول كم ٣٥٪ من ٢٠٠ ذهنياً؟
- ١٠٪ = ٢٠ ← ٣٠٪ = ٦٠.
- ٥٪ = ١٠ ← المجموع ٣٥٪ = ٧٠.
مثال محلول كم ٢٠٪ من ٣٠٪ من ٥٠٠؟
- كلمة «من» تعني الضرب: ٠٫٢ × ٠٫٣ × ٥٠٠ = ٣٠.
- انتبه: هذه نسبة من نسبة وليست تغييرين متتاليين، فلا تستخدم قانون الصافي هنا.
حيلة سريعة اختصارات تُسرّع الحل:
- بعد خصم ن: القيمة = (١٠٠ − ن)٪ × الأصل. مثال: خصم ٩٪ من ١٠٠٠ = ٩١٪ × ١٠٠٠ = ٩١٠.
- بعد زيادة ن: القيمة = (١٠٠ + ن)٪ × الأصل. مثال: زيادة ١٠٪ على ٢٠٠٠ = ١١٠٪ × ٢٠٠٠ = ٢٢٠٠.
- الزكاة = ٢٫٥٪ من المبلغ = المبلغ ÷ ٤٠.
سابعاً: أي قيمة هي الأساس؟
أكثر ما يُربك الطلاب هو اختيار القيمة التي نقسم عليها. الفرق بين رقمين واحد، لكن النسبة تتغيّر إذا تغيّر المقام.
مثال محلول راتب أحمد ١٢٠٠ ريال وراتب سعد ١٠٠٠ ريال. الفرق ٢٠٠ ريال في الحالتين، والنسبة تختلف:
- راتب أحمد يزيد عن سعد بـ (٢٠٠ ÷ ١٠٠٠) × ١٠٠ = ٢٠٪.
- وراتب سعد يقل عن أحمد بـ (٢٠٠ ÷ ١٢٠٠) × ١٠٠ ≈ ١٦٫٧٪.
قاعدة الأساس هو ما جاء بعد «عن» أو «من» في السؤال: «يزيد عن سعد» ← اقسم على راتب سعد، و«كم نسبته من الراتب» ← اقسم على الراتب. الفرق ثابت، والمقام هو الذي يتغيّر.
أخطاء شائعة
- افتراض أن زيادة ثم نقصان بالنسبة نفسها يعيد القيمة الأصلية (الناتج دائماً أقل).
- جمع نسبتي تغييرين متتاليين دون حدّ الضرب (أ × ب ÷ ١٠٠).
- حساب نسبة الربح على سعر البيع بدلاً من سعر الشراء.
- اختيار المقام الخطأ عند المقارنة: «أ يزيد عن ب» نقسم على ب، و«ب يقل عن أ» نقسم على أ.
- عند إيجاد القيمة الأصلية، إضافة قيمة التخفيض على السعر المخفّض بدل القسمة على العامل.
الخلاصة
- النسبة المئوية = (جزء ÷ كل) × ١٠٠.
- بعد التغيير = الأصل × (١ ± ن)؛ والأصل = بعد التغيير ÷ (١ ± ن).
- الربح والخسارة تُحسب دائماً من سعر الشراء.
- المتتاليان: اضرب العوامل، أو الصافي = الجمع ± (الضرب ÷ ١٠٠)، والترتيب لا يغيّر الناتج؛ الزيادة ثم النقصان بالنسبة نفسها تُنقص القيمة.
- ١٠٪ = انقل الفاصلة خانة واحدة، وابنِ باقي النسب عليها ذهنياً.
- الأساس هو ما جاء بعد «عن» أو «من»؛ الفرق بين الرقمين واحد، والنسبة تتغيّر بتغيّر المقام.
تابع قراءة «النسبة المئوية» مع البريميوم
مجموعة من الدروس التأسيسية متاحة مجاناً تجربةً للمنصة. باقي الدروس والاختبارات الكاملة تفتح مع الاشتراك.