السرعة والمسافة ومعدل العمل
السرعة والمسافة ومعدل العمل
مسائل الحركة والعمل من أكثر ما يتكرر في القسم الكمي، وكلها تُبنى على قانون واحد بسيط. سنبدأ بالعلاقة بين المسافة والسرعة والزمن، ثم تحويل الوحدات ومتوسط السرعة. بعد ذلك ننتقل إلى حركة جسمين (اللحاق والالتقاء)، ثم معدل العمل المشترك ومسائل العمال والأيام — بأدوات سريعة تصلح ليوم الاختبار.
أولاً: القانون الأساسي (المثلث الذهبي)
ثلاث كميات مترابطة: المسافة والسرعة والزمن. رتّبها في مثلث — المسافة في الأعلى، والسرعة والزمن في الأسفل — ثم غطِّ المطلوب بإصبعك، فيظهر لك القانون مباشرة.
غطِّ المطلوب: تُغطّي «ف» فيبقى ع×ز، أو تُغطّي «ز» فيبقى ف÷ع.من القانون نفسه نشتق الصيغتين الأخريين:
- السرعة = المسافة ÷ الزمن
- الزمن = المسافة ÷ السرعة
سيارة تسير بسرعة ١٢٠ كم/س (أي ١٢٠ كيلومتراً في الساعة) من الرياض إلى الدمام (المسافة ٤٠٠ كم). كم تحتاج من الزمن؟
- الزمن = المسافة ÷ السرعة = ٤٠٠ ÷ ١٢٠ = ١٠٣ ساعة، أي ٣ ساعات وثلث ساعة.
- ثلث الساعة = ٦٠ ÷ ٣ = ٢٠ دقيقة.
- إذن الزمن = ٣ ساعات و٢٠ دقيقة.
حوّل الكسر إلى دقائق قبل أن تقرّب، لا بعده. لو قرّبنا أولاً إلى ٣٫٣٣ لصار ٠٫٣٣ × ٦٠ = ١٩٫٨ دقيقة، وهو رقم لن تجده في الخيارات.
ثانياً: تحويل وحدة السرعة
كثير من المسائل تخلط بين كم/س والمتر في الثانية (م/ث)، والتحويل بينهما ثابت وسريع.
من كم/س إلى م/ث: اضرب في ٥١٨ (أو ببساطة اقسم على ٣٫٦).
ومن م/ث إلى كم/س: اضرب في ١٨٥ (أي في ٣٫٦).
حوّل ٧٢ كم/س إلى م/ث.
- ٧٢ × ٥١٨ = ٣٦٠ ÷ ١٨.
- = ٢٠ م/ث.
ثالثاً: متوسط السرعة (ذهاب وإياب)
القاعدة العامة التي لا تخطئ أبداً: متوسط السرعة = المسافة الكلية ÷ الزمن الكلي. وقبل أن تحسب اسأل نفسك: ما الذي تساوى في المسألة، المسافتان أم الزمنان؟ الجواب هو الذي يحدد الطريقة.
- إذا تساوت المسافتان (ذهاب وإياب على الطريق نفسه) ← الصيغة المباشرة: (٢ × ع₁ × ع₂) ÷ (ع₁ + ع₂).
- إذا تساوى الزمنان (سار ساعتين بسرعة ثم ساعتين بسرعة أخرى) ← المتوسط العادي: (ع₁ + ع₂) ÷ ٢.
- إذا لم يتساوَ أي منهما ← المسافة الكلية ÷ الزمن الكلي، وهي التي تصلح في كل حالة.
ذهب سعد من جدة إلى مكة بسرعة ٨٠ كم/س، ورجع بنفس الطريق بسرعة ٤٠ كم/س. ما متوسط سرعته؟
- بالصيغة المباشرة: (٢ × ٨٠ × ٤٠) ÷ (٨٠ + ٤٠).
- = ٦٤٠٠ ÷ ١٢٠ ≈ ٥٣٫٣ كم/س.
- لاحظ أن الجواب ليس ٦٠، لأن السيارة قضت زمناً أطول في السرعة الأبطأ.
سار خالد ساعتين بسرعة ٤٠ كم/س، ثم ساعتين بسرعة ٦٠ كم/س. ما متوسط سرعته؟
- المسافة الكلية = (٤٠ × ٢) + (٦٠ × ٢) = ٨٠ + ١٢٠ = ٢٠٠ كم.
- الزمن الكلي = ٢ + ٢ = ٤ ساعات.
- متوسط السرعة = ٢٠٠ ÷ ٤ = ٥٠ كم/س، وهو المتوسط العادي للسرعتين.
- هنا تساوى الزمنان لا المسافتان، فلو استعملنا الصيغة المباشرة لخرج ٤٨ كم/س وهو خطأ.
رابعاً: حركة جسمين (اللحاق والالتقاء)
عند تحرّك جسمين، الفكرة كلها في السرعة النسبية بينهما (وتسمى أيضاً سرعة الاقتراب أو التباعد): هل يقتربان أم يتباعدان؟
يلاحق أحدهما الآخر: نطرح السرعتين. يتقابلان: نجمعهما.- نفس الاتجاه (لحاق): السرعة النسبية = السرعة الأكبر − السرعة الأصغر.
- اتجاهان متعاكسان (التقاء): السرعة النسبية = مجموع السرعتين (ع₁ + ع₂).
- زمن اللحاق = المسافة بينهما ÷ السرعة النسبية (الفرق).
- زمن الالتقاء = المسافة بينهما ÷ السرعة النسبية (المجموع).
- وإذا تساوت السرعتان في الاتجاه نفسه فالسرعة النسبية = صفر، فلن يلحق أحدهما بالآخر مهما طال الزمن.
انطلقت حافلة بسرعة ٦٠ كم/س، وبعد أن قطعت ٤٠ كم انطلقت خلفها سيارة من النقطة نفسها بسرعة ١٠٠ كم/س في الاتجاه نفسه. متى تلحق بها؟
- فرق السرعتين = ١٠٠ − ٦٠ = ٤٠ كم/س.
- الزمن = ٤٠ ÷ ٤٠ = ساعة واحدة.
انطلقت سيارتان من مدينتين تبعدان ٣٠٠ كم، إحداهما نحو الأخرى بسرعة ٧٠ كم/س والثانية بسرعة ٨٠ كم/س. متى تلتقيان؟
- مجموع السرعتين = ٧٠ + ٨٠ = ١٥٠ كم/س.
- الزمن = ٣٠٠ ÷ ١٥٠ = ساعتان.
غالباً يعطيك الاختبار فارق الانطلاق بالزمن لا بالمسافة. انطلقت شاحنة الساعة ٧:٠٠ بسرعة ٥٠ كم/س، وفي الساعة ٩:٠٠ انطلقت خلفها سيارة من النقطة نفسها بسرعة ٧٥ كم/س. متى تلحق بها؟
- المسافة بينهما لحظة انطلاق السيارة = سرعة الشاحنة × زمن التأخير = ٥٠ × ٢ = ١٠٠ كم.
- السرعة النسبية = ٧٥ − ٥٠ = ٢٥ كم/س.
- الزمن = ١٠٠ ÷ ٢٥ = ٤ ساعات، أي تلحق بها في الساعة ١:٠٠ ظهراً.
الخطوة الأولى هي الفرق الوحيد عن المثال السابق: حوّل فارق الزمن إلى مسافة أولاً، ثم أكمل بالطريقة نفسها.
خامساً: معدل العمل المشترك
إذا أنجز شخص عملاً في ٦ ساعات، فمعدل عمله = ١٦ من العمل في الساعة. وعند العمل معاً نجمع المعدلات لا الأزمنة.
حيث أ زمن إنجاز الأول وحده، ب زمن الثاني وحده، ز الزمن اللازم لهما معاً.
- ولشخصين اثنين فقط يوجد اختصار مباشر يعفيك من توحيد المقامات: ز = (أ × ب) ÷ (أ + ب).
- وإذا كان أحدهما يعمل ضد الآخر (صنبور يملأ وثقب يفرّغ) نطرح المعدلات بدل أن نجمعها: ١ز = ١أ − ١ب.
ولاحظ أن صيغة الاختصار تشبه صيغة متوسط السرعة عند تساوي المسافتين ٢ع₁ع₂ع₁+ع₂ — والسبب واحد: في الحالتين نجمع معدلين يشتركان في العمل نفسه.
أحمد يطلي غرفة في ٦ ساعات، وخالد يطليها في ٣ ساعات. كم يحتاجان معاً؟
- ١ز = ١٦ + ١٣ = ١٦ + ٢٦ = ٣٦ = ١٢.
- إذن ز = ساعتان.
- وبالاختصار المباشر: ز = (٦ × ٣) ÷ (٦ + ٣) = ١٨ ÷ ٩ = ساعتان — النتيجة نفسها في خطوة واحدة.
صنبور يملأ حوضاً في ٤ ساعات، وفي قاع الحوض ثقب يفرّغه في ٦ ساعات. إذا فُتح الصنبور والثقب مفتوح، ففي كم ساعة يمتلئ الحوض؟
- الصنبور يملأ ١٤ من الحوض في الساعة، والثقب يفرّغ ١٦ منه، فالطرفان متضادان ← نطرح.
- ١ز = ١٤ − ١٦ = ٣١٢ − ٢١٢ = ١١٢.
- إذن ز = ١٢ ساعة.
ولو كان الثقب أسرع من الصنبور لخرج الفرق سالباً، ومعناه أن الحوض لن يمتلئ أبداً.
سادساً: العمل الجماعي (عمال × أيام)
أحياناً لا نعرف زمن كل عامل وحده، بل نعرف إنتاج مجموعة عمال في عدد من الأيام. الحيلة أن نحسب أولاً نصيب العامل الواحد في اليوم الواحد، ثم نبني عليه.
- كلما زاد عدد العمال قلّ الزمن بالنسبة نفسها (تناسب عكسي).
- وكلما زاد عدد العمال أو عدد الأيام زاد الإنتاج بالنسبة نفسها (تناسب طردي).
- الفكرة نفسها تعمل بالساعات: ساعات العمل تتناسب مع الجزء المنجز من العمل.
٥ عمال يصنعون ١٠٠ مجسم في ٥ أيام. كم عاملاً نحتاج لصنع ٣٣٦ مجسماً في أسبوع؟
- مجموع أيام العمل = ٥ × ٥ = ٢٥ يوم عمل، وأنتجت ١٠٠ مجسم.
- إنتاج العامل في اليوم = ١٠٠ ÷ ٢٥ = ٤ مجسمات.
- الأسبوع ٧ أيام، فالمطلوب في اليوم = ٣٣٦ ÷ ٧ = ٤٨ مجسماً.
- عدد العمال = ٤٨ ÷ ٤ = ١٢ عاملاً.
- استعمال المتوسط العادي (ع₁ + ع₂) ÷ ٢ عند تساوي المسافتين — مكانه هناك الصيغة المباشرة، والمتوسط العادي يصح فقط عند تساوي الزمنين.
- في معدل العمل: جمع الأزمنة مباشرة بدلاً من جمع المعدلات.
- الخلط بين نفس الاتجاه (فرق) والاتجاهين المتعاكسين (مجموع).
- نسيان توحيد الوحدات أو تحويل الدقائق إلى ساعات.
قبل أي حساب وحّد الوحدات: السرعة والمسافة والزمن لا بد أن تكون من نظام واحد (كم وساعة معاً، أو متر وثانية معاً). أكثر الأخطاء في هذا الباب سببها وحدات مختلطة لا قانون خاطئ.
الخلاصة
- القانون الأم: المسافة = السرعة × الزمن، ومنه تُشتق باقي الصيغ.
- للتحويل: كم/س × ٥١٨ = م/ث (أو ÷ ٣٫٦)، والعكس × ١٨٥.
- متوسط السرعة = المسافة الكلية ÷ الزمن الكلي؛ وعند تساوي المسافتين: ٢ع₁ع₂ع₁+ع₂، وعند تساوي الزمنين: المتوسط العادي (ع₁ + ع₂) ÷ ٢.
- جسمان: السرعة النسبية = الفرق عند الاتجاه نفسه (لحاق)، والمجموع عند التعاكس (التقاء).
- العمل المشترك: اجمع المعدلات — ١ز = ١أ + ١ب؛ ولشخصين: ز = (أ × ب) ÷ (أ + ب)، وإذا عاكس أحدهما الآخر اطرح المعدلات.
- عمال وأيام: احسب نصيب العامل الواحد في اليوم أولاً، ثم اضرب أو اقسم.
- وحّد الوحدات دائماً قبل الحساب.
تابع قراءة «السرعة والمسافة ومعدل العمل» مع البريميوم
مجموعة من الدروس التأسيسية متاحة مجاناً تجربةً للمنصة. باقي الدروس والاختبارات الكاملة تفتح مع الاشتراك.